Une remarque à propos de la transposition associée à une forme bilinéaire symétrique

Dans cet article, nous avons observé que la transposition \widetilde{\     } associée à une forme bilinéaire g:E\times E\to\mathbb K non dégénérée permet d’étendre celle-ci en une forme bilinéaire non dégénérée — encore notée g ci-dessous — sur l’algèbre \mathcal{L}(E,E) des endomorphismes de E.

Lorsque g est symétrique, la g-transposition est une involution de sorte que

\mathcal{L}(E,E)=\mathcal{L}_a(E,E)\oplus\mathcal{L}_s(E,E)

\mathcal{L}_a(E,E)=\{A\in\mathcal{L}(E,E)|\tilde{A}=-A\}\quad \& \quad \mathcal{L}_s(E,E)=\{A\in\mathcal{L}(E,E)|\tilde{A}~=~A\}

De plus, l’extension de g à \mathcal{L}(E,E) est symétrique elle aussi.

La remarque que je voulais ajouter ici à ce propos tient en ceci :

Les espaces \mathcal{L}_a(E,E) et \mathcal{L}_s(E,E) sont g-orthogonaux.

En effet, si A est antisymétrique et B est symétrique, alors

\begin{array}{lcl}g(A,B)&=&\mathrm{tr}(\tilde{A}\circ B)\\&=&-\mathrm{tr}(A\circ\tilde{B})\\&=&-g(A,B)\end{array}

Naturellement tout ceci est fort simple mais je ne ne peux m’empêcher de trouver que les faits s’enchaînent remarquablement bien.

Dois-je avouer qu’avant de réfléchir un peu abstraitement à ces choses, je ne m’étais pas rendu compte de ce que la décomposition des matrices réelles carrées en somme directe de matrices antisymétriques et symétriques est orthogonale pour le produit scalaire standard?

😉

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