A propos d’un empilement infini de radicaux

Le but de ce billet est de calculer l’empilement infini de radicaux e_{a,b} où la suite a est périodique de période 2 et b est la suite constante \mathbf{1}, celle dont les éléments valent tous 1(*).

Nous notons p la valeur commune des éléments de rang pair de a et q celle des éléments de rang impair, où p, q sont des nombres réels strictement positifs. L’empilement e_{a,b} est donc

e:=\sqrt{p+\sqrt{q+\sqrt{p+\sqrt{q+\cdots}}}}

Nous allons prouver que

L’empilement e est égal à la plus grande racine de l’équation

(x^2-p)^2-x-q=0

La méthode

Nous montrerons d’abord, \boxed A, que l’équation

(x^2-p)^2-x-q=0

admet une seule racine (positive) plus grande que \sqrt p, \ \xi (c’est sa plus grande racine).

Ensuite, \boxed B, nous construirons une suite c:n\in\mathbf N\mapsto [0,+\infty[ à laquelle est associée une suite constante d’approximations u(c) de e. Ceci prouve que la limite de la suite u(\mathbf 0), la valeur de e, est un nombre réel.

Nous montrerons enfin, \boxed C, que \lim u(\mathbf 0)=\xi, ce qui sera alors facile.

Nous noterons f la fonction.

x \mapsto (x-p)^2-x-q=x^4-2px^2-x+p^2-q

Nous l’étudierons principalement dans ]0,+\infty[.

Voici un aperçu du graphe de f lorsque p = 1 et q = 0.8. C’est un cas où la fonction possède deux zéros positifs. Ils sont séparés par \sqrt p.

Voici un exemple du second cas possible, celui où f ne possède qu’un seul zéro positif. Ici, p=\frac 12 et, comme plus haut, q=0.8.

Les détails

\boxed A

Nous allons utiliser les dérivées premières et secondes de f :

\begin{cases}f'(x)=4x^3-4px-1\\[1ex] f''(x)=12x^2-4p\end{cases}

La dérivée seconde s’annule en \pm \sqrt{\frac{p}{3}}. Elle est strictement négative dans ]0,\sqrt{\frac{p}{3}}] et strictement positive dans ]\sqrt{\frac{p}{3}},+\infty[. Comme f'(0)=-1, f' est strictement décroissant et négtif dans ]0,\sqrt{\frac{p}{3}}] et strictement croissant au-delà de \sqrt{\frac{p}{3}}. En particulier, f' s’annule une fois exactement dans ]0,+\infty[, au-delà de \sqrt{\frac{p}{3}}. Notons \alpha ce zéro.

On voit ainsi que la fonction f atteint un minimum local en \alpha. Elle décroit strictement dans ]0,\alpha[ puis croit strictement dans [\alpha,+\infty[. Nous allons voir que le minimum local f(\alpha) est strictement négatif. Dès lors, f admet un unique zéro dans ]\alpha,+\infty[, disons \xi. De plus, si f(0)=p^2-q \sqrt p\geqslant 0, alors f possède un second zéro positif ou nul, \eta. Nous vérifierons que lorsqu’il existe, \eta < \sqrt p.

\bullet Nous considérons \alpha comme une fonction de p. D'après le théorème des fonctions implicites, elle est de classe C^\infty. En effet

f''(\alpha)=12(\alpha^2-\frac p3)>0

Sa dérivée s’obtient en dérivant la relation f'(\alpha)=0 par rapport à p, ce qui donne

\alpha'=\dfrac{\alpha}{3\alpha^2-p}

Notons également que f'(\alpha)=0 montre que

\alpha^2-p=\frac 1{4\alpha}>0

On a alors

\dfrac{d(f\circ\alpha)}{dp}=f'(\alpha)\alpha'-2(\alpha^2-p)=-\dfrac 1{2\alpha}<0

Le minimum de f dans ]0,+\infty[ est donc strictement décroissant par rapport à p. Mais, \alpha^3(0)=\frac 14 et, du coup(**),

f(\alpha(0))=-\frac 34\alpha(0)-q<0

Au total, f(\alpha) est bien strictement négatif.

\bullet Le zéro \xi de f est également une fonction de classe C^\infty de p car f'(\xi)>0. On obtient aisément

\xi'=\dfrac{2(\xi^2-p)}{f'(\xi)}

Avec cette formule, on voit que la dérivée de la fonction p\mapsto \xi^2-p vaut

2\xi\xi'-1=\dfrac{4\xi(\xi^2-p)-f'(\xi)}{f'(\xi)}=\dfrac 1{f'(\xi)}

Cette fonction est donc strictement croissante. Sa limite lorsque p tend vers 0 est positive. Elle est donc strictement positive en les p strictement positifs. Au total, \xi>\sqrt p comme annoncé.

\bullet On démontre de façon semblable que, lorsque \eta existe, c’est-à-dire quand p^2\geqslant q, il est strictement inférieur à \sqrt p. Cette fois la dérivée de p\mapsto \eta^2-p est strictement négative car f'(\eta)<0. De plus, il est clair que \eta(\sqrt q) = 0. Je ne vais pas détailler.

\boxed B

Pour rappel, la suite d'approximations u(c) de notre empilement associée à une suite c:n\in\mathbf N\mapsto [0,+\infty[ est la suite dont voici les premiers éléments

c_0,\ \sqrt{p+c_1},\ \sqrt{p+\sqrt{q+ c_2}},\ \sqrt{p+\sqrt{q+ \sqrt{p+ c_3}}}, \ldots

(de façon générale, c_n figure immédiatement sous le n-ième radical.)

Puisque \xi >0, \xi^2>p et (\xi^2-p)^2-\xi-q=0, on a

\xi=\sqrt{p+\sqrt{q+\xi}}

Il est alors immédiat de voir que pour la suite c définie par

n\mapsto\begin{cases}\xi&\mathrm{\ si\ } n\mathrm{\ est\ pair}\\ \xi^2-p&\mathrm{\ sinon}\end{cases}

la suite u(c) est la suite constante \xi,\xi,\xi,\ldots

\boxed C

Vu \boxed{B}, la suite u(\mathbf 0) converge vers un nombre réel \gamma_0>0 (voir par exemple ce billet) qui est la valeur attribuée à notre empilement e. Mais, clairement, nous avons

u_{n+2}(\mathbf 0)=\sqrt{p+\sqrt{q+u_n(\mathbf 0)}}

En passant à la limite, il vient \gamma_0=\sqrt{p+\sqrt{q+\gamma_0}}.

En élevant les deux membres au carré, nous obtenons \gamma_0^2-p=\sqrt{q+\gamma_0}. En particulier \gamma_0^2-p>0. Par une élévation au carré supplémentaire, nous obtenons enfin f(\gamma_0)=0.

Vu ce qui précède, nous avons donc \gamma_0=\xi et

e:=\sqrt{p+\sqrt{q+\sqrt{p+\sqrt{q+\cdots}}}}=\xi

En particulier,

\lim_{n\to+\infty}\underbrace{\sqrt{p+\sqrt{q+\sqrt{p+\sqrt{q+\cdots}}}}}_{n \mathrm{\ radicaux}}=\xi

P.S. Un participant du forum M@TH en Ligne, Tournesol, a trouvé une méthode plus expéditive pour prouver que f possède une unique racine strictement plus grande que \sqrt p. En fait, il est beaucoup plus expéditif, entre autre pour montrer que le minimum de f dans ]0,+\infty[ est strictement négatif. Après être arrivé aux même conclusions que moi concernant la dérivée première f', il conclut que f est strictement décroissant sur [\sqrt p,\alpha] et strictement croissant sur ]\alpha,+\infty[. Comme f(\sqrt p)=-\sqrt p-q<0, f(\alpha) est également strictement négatif. Le reste est alors clair. P.L. 06/12/2018

__________
(*) Les articles concernant les empilements infinis de radicaux où vous trouverez les notations et les résultats que je vais utiliser ici se trouvent sous la rubrique Empilements infinis de radicaux du sommaire.
(**) On prend en réalité la limite pour p tendant vers zéro par valeurs positives puisqu’en principe p est supposé strictement positif. Pqr abus de notations, on note \alpha(0), f(\alpha(0)), \ldots ces limites.

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Une brève sur les plans affines euclidiens et orientés II

Dans ce billet auquel je vous renvoie pour les définitions et les notations, je faisais observer la chose suivante : le cercle de centre A et passant par le point B est l’ensemble

\{(1-\lambda)A+\lambda B|\lambda\in S^1\}

C’était alors juste une simple observation sur laquelle le billet s’achève. Dans le présent billet, nous allons l’exploiter pour établir la propriété (bien connue) suivante

Quatre points X_1,X_2,X_3,X_4 de \mathcal E sont alignés ou cocycliques si, et seulement si, le rapport anharmonique [X_1,X_2,X_3,X_4] est réel.

Pour rappel, si A,B sont deux points distincts, alors X_k est une combinaisons affine de ces points : X_k=(1-\lambda_k)A+\lambda_k B et(*)

\begin{array}{lcr}[X_1,X_2,X_3,X_4]&=&\dfrac{\overrightarrow{X_1X_3}}{\overrightarrow{X_3X_2}}\ \dfrac{\overrightarrow{X_4X_2}}{\overrightarrow{X_1X_4}}\\[3ex]&=&\dfrac{\lambda_3-\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_3}\dfrac{\lambda_2-\lambda_4}{\lambda_4-\lambda_1}\\[3ex]&=&[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4]\end{array}

Nous allons à présent prouver la proposition, en commençant par établir que la condition est nécessaire.

\boxed{\mathrm A}

\bullet Supposons les X_k situés sur une droite et prenons A et B sur celle-ci. Les abscisses affines \lambda_k sont alors des nombres réels de même, dès lors, que le birapport [\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4].

\bullet Supposons les X_k situés sur un cercle et prenons pour A le centre de ce dernier et pour B un quelconque de ses points. Les modules des \lambda_k valent 1 de sorte que le conjugué du birapport des X_k vaut

[\overline{\lambda}_1,\overline{\lambda}_2,\overline{\lambda}_3,\overline{\lambda}_4]=[\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\frac{1}{\lambda_3},\frac{1}{\lambda_4}]=[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4]

Ce birapport est donc réel.

\boxed{\mathrm B}

Nous supposons à présent que [X_1,X_2,X_3,X_4] est réel et nous discutons sur le fait que X_1,X_2,X_3 sont alignés ou sont les sommets d’un triangle.

\bullet Dans le premier cas, nous prenons A et B sur la droite X_1X_2. Les abscisses affines \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 sont réelles et, en exprimant que [\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4] est égal à son conjugué, on obtient immédiatement \overline{\lambda}_4=\lambda_4 : \lambda_4 est réel et X_4 appartient à la droite AB.

\bullet Dans le second cas, X_1,X_2,X_3 sont sur le cercle circonscrit au triangle dont ils sont les sommets. Nous prenons alors pour A le centre de ce cercle et pour B un quelconque de ses points. Les modules des nombres \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 valent 1. Cette fois en exprimant que [\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4] est égal à son conjugué, on obtient |\lambda_4|^2=1 après un tout petit peu de calcul. Ainsi |\lambda_4|=1 et le point X_4 appartient au cercle en question.

Voilà, ce billet s’achève ici.

😉

__________
(*) Les \overrightarrow{X_kX_l} sont des multiples de \overrightarrow{AB} et le rapport de deux d’entre eux est celui de ces multiples.

Une brève sur les plans affines euclidiens et orientés

Le présent billet transpose rapidement aux plans affines euclidiens et orientés ce que je présentais dans cet article consacré aux plans vectoriels euclidiens et orientés.

Je ne prétends nullement être original dans ce qui suit. Je veux simplement mettre en évidence un fait amusant que j’ignorais jusqu’il y a peu(*).

Considérons un plan affine euclidien orienté \mathcal E. Par définition d’un tel plan, l’espace vectoriel E qui le dirige est un plan vectoriel muni d’un produit scalaire et d’une orientation.

Comme je l’ai expliqué dans l’article cité ci-dessus, on fait de E une droite vectorielle complexe E_\mathbf C en conservant l’addition de E et en posant

\forall a,b\in \mathbf R,\forall \mathbf u\in E,\quad (a+ib)\mathbf u=a\mathbf u+bJ\mathbf u

J est la rotation (vectorielle) d’angle \pi/2.

L’espace affine \mathcal E devient alors une droite affine complexe \mathcal E_\mathbf C. Ses translations sont celles de \mathcal E et ses combinaisons affines sont définies de façon classique : si la somme de a_1,\ldots,a_p\in\mathbf C vaut 1 et si P_1,\ldots, P_p \in\mathcal E, alors, pour tout point O,

\displaystyle{\sum_{k=1}^p}a_kP_k=O+\sum_{k=1}^pa_k\overrightarrow{OP_k}

(Avec la relation de Chasles, on montre facilement que le membre de droite de cette égalité ne dépend pas de O.)

Soient alors des points distincts A et B de \mathcal E_\mathbf C.

L’ensemble

\{(1-\lambda)A+\lambda B|\lambda\in\mathbf R\}

est la droite réelle (i.e. de \mathcal E) passant par ces points tandis que

\{(1-\lambda)A+\lambda B|\lambda\in\mathbf C\}

est la droite complexe passant par ces points, c’est-à-dire \mathcal E_\mathbf C tout entier.

Voici alors l’objet qui est à l’origine de ce billet :

\{(1-\lambda)A+\lambda B|\lambda\in S^1\}

S^1 est le cercle trigonométrique, i.e. l’ensemble des nombres complexes dont le module vaut 1. Cet ensemble est le cercle de \mathcal E de centre A passant par B.

En effet, d’une part

(1-\lambda)A+\lambda B=A+\lambda\overrightarrow{AB}

et, d’autre part, dans E, les multiplications par les éléments de S^1 sont les rotations vectorielles.

Je trouve amusant de décrire les cercles comme des ensembles de combinaisons affines de deux points, au même titre que les droites et leurs segments.

Nous en resterons là! 😉

__________
(*) Ignorance bien regrettable mais,voilà, je n’utilise pratiquement jamais les espaces affines complexes.

Une brève, à propos d’un logarithme qui se prend pour une exponentielle!

Comme je l’ai expliqué ici, à chaque équation différentielle isochrone est associée une application exponentielle(*).

Je rappelle sommairement ce que nous allons utiliser du matériel présenté dans ce billet.

Une équation différentielle \ddot x= f(x,\dot x)(**) est isochrone si, et seulement si, f est quadratique en h. (Ce n’est pas la définition mais une caractérisation que nous allons exploiter.) La solution maximale t\mapsto u(t,x_0,h) de cette équation qui vaut x_0\in\Omega en t=0 et dont la dérivée vaut h\in\mathbf R^n en t=0 ne dépend de t et de h que par l’intermédiaire de leur produit : il existe une fonction \exp: (x_0,h)\mapsto \exp_{x_0}(h) telle que, dans l’intervalle de définition de u,

u(t,x_0,h)=\exp_{x_0}(th)

L’application \exp est l’exponentielle associée à l’équation isochrone \ddot x= f(x,\dot x). Je ne vais pas m’étendre ici sur son domaine de définition. J’en dis quelques mots dans ce pdf mais ce ne sera pas utile pour le présent billet. Dans le texte en question, je donne divers exemples d’applications exponentielles. Ils recouvrent les notions d’exponentielle que l’on connait généralement dans l’enseignement secondaire et dans les premières années d’études scientifiques à l’université, parmi lesquelles l’exponentielle de matrices (qui est un cas particulier de l’exponentielle des groupes de Lie, pour ceux qui connaissent ceux-ci).

Sur \mathbf R, les équations isochrones sont les équations de la forme \ddot x=g(x)\dot x^2. On peut dire pas mal de choses à leur propos mais dans ce billet, nous nous contenterons de déterminer l’application exponentielle associée à l’équation isochrone \ddot x = \dot x^2.

Pour résoudre l’équation \ddot x = \dot x^2, x(0)=x_0, \dot x(0)=h nous introduisons, ce qui est classique, l’inconnue y=\dot x. Ceci transforme l’équation en question en le système équivalent

\begin{cases}\dot x=y, \quad x(0)=x_0\\\dot y=y^2, \quad y(0)=h\end{cases}

Comme on le voit, facilement, la solution maximale de l’équation \dot y=y^2, \quad y(0)=h est

y : t\in I_h\mapsto \dfrac h{1-ht}\in \mathbf R

I_h=\begin{cases}]-\infty,\frac 1h[\mathrm{\ si\ }h>0\\[1ex]\mathbf R\mathrm{\ si\ }h=0\\[1ex]]\frac 1h,+\infty[\mathrm{\ si\ }h <0\end{cases}

En fait,

t\in I_h \Longleftrightarrow th<1

De là,

x : t\in I_h\mapsto x_0+\displaystyle{\int_0^t}\frac h{1-hu}du=x_0-\ln(1-ht)

et, donc, l’exponentielle associée à l’équation \ddot x=\dot x^2 est l’application

\exp : (x_0,h)\in\mathbf R\times]-\infty,1[\mapsto x_0+\ln\frac 1{1-h}\in \mathbf R

En particulier, pour l’équation considérée,

\exp_0(h)=\ln\frac 1{1-h}

est un logarithme !

__________
(*) Dans le billet en question, je ne parle que d’équations définies sur un ouvert de \mathbf R^n mais un des cadres les plus généraux où les notions d’équations isochrones et d’exponentielles associées sont disponibles est celui des variétés différentielles.
(**) Où f: (x,h)\in\Omega\times\mathbf R^n \mapsto f(x,h)\in\mathbf R^n est de classe C^k, avec \Omega un ouvert de \mathbf R^n et k>1.

Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire II

Voici une modeste suite à cet article. Je ne pensais pas qu’elle viendrait si rapidement. Elle va dans le sens de ce que j’écrivais dans les dernières lignes du billet sans pour autant épuiser complètement le sujet, me semble-t-il. Disons que c’est un premier pas dans dans la direction que je souhaite suivre. Il n’y en aura peut-être pas d’autre car ces questions de nature topologique sont assez délicates, du moins pour moi.

Je conserve ici les notations de l’article cité, auquel je vous réfère pour les détails. En plus, pour alléger l’écriture nous conviendrons de désigner par L^* l’ensemble des éléments non nuls de tout espace vectoriel L.

Pour rappel, nous avons vu que des éléments \mathbf u,\mathbf v de l’espace vectoriel E sont linéairement dépendants et sont liés par la relation linéaire r\mathbf v+s\mathbf u=0 si, et seulement si, le produit des quaternions p=r+\mathbf u et q=s+\mathbf v est réel.

Nous allons étudier ici le produit de quaternions comme une application différentiable \mathscr P de \mathbf H_E^2 dans \mathbf H_E et, tout naturellement, nous intéresser plus particulièrement à la structure de la pré-image de l’ensemble des quaternions réels par cette application.

Comme nous allons le voir, \mathscr P est singulier en (0,0). Par contre, sa restriction \mathbf P à \mathbf H_E^{2*} est une submersion surjective. C’est donc plutôt la pré-image de \mathbf R\simeq \mathbf R+\{0\}\subset \mathbf H_E par cette restriction que nous allons étudier. Nous constaterons que c’est une variété différentiable ayant une structure assez simple.

L’application linéaire tangente de \mathscr P

Soient \xi=(p,q)\in \mathbf H_E^2 et un vecteur tangent \tau=(h,k)\in T_\xi\mathbf H_E^2\simeq \mathbf H_E^2. La dérivée de \mathscr P dans la direction de \tau est donnée par

\begin{array}{rcl}\mathscr P_{*\xi}\tau&=&\frac d{dt}(p+th)(q+tk)_{|t=0}\\[1ex]&=&pk+hq\end{array}

D’après cette formule, si \xi est nul, alors \mathscr P_{*\xi}=0 tandis que si \xi n’est pas nul, alors \mathscr P_{*\xi} est surjectif. Par conséquent, l’application \mathscr P est singulière à l’origine. De plus, comme \mathbf H_E^{2*} est un ouvert de \mathbf H_E^2, les applications linéaires tangentes à \mathbf P et à \mathscr P en chaque \xi\in \mathbf H_E^{2*} coïncident. L’application \mathbf P, qui est par ailleurs visiblement surjective, est donc une submersion.

La variété V_E

L’ensemble V_E=\mathbf P^{-1}\mathbf R est une variété plongée de \mathbf H_E^{2*} de dimension cinq.

D’après le théorème de transversalité pour les sous-variétés, il résulte en effet de ce qui précède que V_E est une variété plongée de \mathbf H_E^{2*} et qu’en plus, son espace tangent en \xi est la pré-image par \mathbf P_{*\xi} de l’espace tangent à \mathbf R en \mathbf P(\xi). Ce dernier s’identifie à \mathbf R. Par conséquent,

T_\xi V_E=\{(h,k)\in\mathbf H_E^2|pk+hq\in\mathbf R\}

De là, \dim V_E=5. En effet, si p n’est pas nul, alors T_\xi V_E est l’image de l’application linéaire

(h,a)\in\mathbf H_E\times\mathbf R\mapsto (h,-p^{-1}hq+ap^{-1})\in\mathbf H_E^2

et si q n’est pas nul, c’est celle de

(k,a)\in\mathbf H_E\times\mathbf R\mapsto (aq^{-1}-pkq^{-1},k)\in\mathbf H_E^2

On conclut en notant que ces deux applications sont injectives.

Les fibres de \mathbf P:V_E\to \mathbf R

Par définition, il s’agit des ensembles \mathbf P^{-1}\{\varphi\}, \varphi\in\mathbf R. Il est évident que si \varphi n’est pas nul, alors

\mathbf P^{-1}\{\varphi\}=\{(p,\varphi p^{-1})|p\in\mathbf H_E^*\}

et que

\mathbf P^{-1}\{0\}= \mathbf H_E^*\times\{0\}\cup\{0\}\times\mathbf H_E^*

Voici deux conséquences de ceci. La première est immédiate.

L’application (\varphi,p)\mapsto (p,\varphi p^{-1}) est un difféomorphisme de \mathbf R^*\times \mathbf H_E^* sur l’ouvert \mathbf P^{-1}\mathbf R^* de V_E.

Ensuite

L’application P:V_E\to \mathbf R n’est pas un fibré localement trivial.

En effet, si c’était un tel fibré alors il serait trivialisable car \mathbf R est contractile.
Mais alors, toutes ses fibres seraient homéomorphes. Or les fibres \mathbf P^{-1}\{\varphi\}, \varphi\in\mathbf R^*, sont connexes (elles sont homéomorphes à \mathbf H_E^*) alors que \mathbf P^{-1}\{0\} ne l’est pas(*).

Conclusions

Nous y voyons à présent un peu plus clair sur les couples d’éléments linéairement dépendants de E et les relations linéaires qui les lient. Comme on l’a vu dans le billet cité au début de cet article, ces données sont encodées dans \mathscr P^{-1}\mathbf R.

Ce qui précède montre que cet espace topologique admet une stratification naturelle, de même que V_E :

\mathscr P^{-1}\mathbf R=\{(0,0)\}\cup \underbrace{\mathbf P^{-1}\{0\}\cup\mathbf P^{-1}\mathbf R^*}_{V_E}

Contrairement à V_E, \mathscr P^{-1}\mathbf R n’est pas une variété plongée dans \mathbf H_E^2 car c’est en fait un cône, de sommet \{0\}.
Quant à \mathbf P: V_E\to\mathbf R, il s’en est fallu de peu que ce soit un fibré localement trivial. C’est la faute à la fibre particulière \mathbf P^{-1}\{0\} qui n’a pas le bon goût d’être difféomorphe aux autres. Par contre, celles-ci s’entendent bien entre elles : le fibré \mathbf P :P^{-1}\mathbf R^*\to \mathbf R^* admet une trivialisation globale canonique.

__________
(*) Si L est un espace vectoriel de dimension finie, alors L^*\times\{0\}\cup\{0\}\times L^* n’est pas connexe pour la topologie induite par L\times L. En effet, les deux fermés L^*\times\{0\} et \{0\}\times L^* partitionnent L^*\times\{0\}\cup\{0\}\times L^*.

Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire

Quaternions …

Considérons un espace vectoriel réel E de dimension trois, euclidien et orienté. Nous noterons (\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\cdot\mathbf v son produit scalaire et (\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\wedge\mathbf v son produit vectoriel.

L’algèbre \mathbf H_E des quaternions sur E généralise de façon simple celle des quaternions classiques, \mathbf H. C’est l’espace vectoriel \mathbf R\oplus E muni du produit associatif (la vérification est facile par calcul direct)

(r+\mathbf u,s+\mathbf v)\mapsto (rs-\mathbf u\cdot\mathbf v)+(r\mathbf v+s\mathbf u+\mathbf u\wedge\mathbf v)

En fait, tout comme \mathbf H (que l’on pourrait noter \mathbf H_{\mathbf R^3}), c’est un corps. L’inverse d’un quaternion non nul p=r+\mathbf u est le quaternion \overline p/|p|^2, où |p|=\sqrt{r^2+\|u\|^2} est le module de p et \overline p:=r-\mathbf u est son conjugué. Remarquons que, tout comme pour les nombres complexes et les quaternions classiques, on a |p|^2=p\overline p=\overline pp.

… et dépendance linéaire

Par définition, des éléments \mathbf u,\mathbf v de E sont linéairement dépendants s’il existe des nombres réels r et s dont l’un au moins n’est pas nul tels que s\mathbf u+r\mathbf v=0.

Nous dirons qu’une égalité de la forme s\mathbf u+r\mathbf v=0 est une relation liant \mathbf u et \mathbf v et qu’elle est triviale si r=s=0 et non triviale sinon.

Curieusement, le fait que deux éléments de E soient linéairement dépendants et les relations, triviales ou non, les liant sont facilement encodés au moyen du produit des quaternions. En effet,

Soient p=r+\mathbf u et q=s+\mathbf v des quaternions sur E. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

a) pq\in\mathbf R

b) \mathbf u et \mathbf v sont linéairement dépendants et s\mathbf u+r\mathbf v=0

c) p\in\mathbf R\overline q\quad \lor \quad q\in\mathbf R\overline p

Les vérifications sont faciles. Voici un exemple d’une façon de faire.

\boxed{\mathrm{a)}\Longrightarrow \mathrm{b)}}

Cette implication est assez évidente. Si a) est vrai, alors, d’après la définition du produit de quaternions, on a

(1) r\mathbf v+s\mathbf u+\mathbf u\wedge\mathbf v=0

En multipliant les deux membres de cette égalité scalairement par \mathbf u\wedge\mathbf v, on obtient \|\mathbf u\wedge\mathbf v\|^2=0. Ainsi, \mathbf u\wedge\mathbf v est nul, ce qui signifie que \mathbf u et \mathbf v sont linéairement dépendants. De plus, il résulte alors de (1) que r\mathbf v+s\mathbf u=0.

\boxed{\mathrm{b)}\Longrightarrow \mathrm{c)}}

Pour cette implication, il faut travailler un tout petit peu plus. Nous supposons b) vrai et nous discutons sur \mathbf u et \mathbf v.

i) S’ils sont nuls alors p et q sont réels, donc égaux à leurs propres conjugués. Dès lors, si r n’est pas nul, alors

q=\dfrac srp\in\mathbf R\overline p

sinon, on a

p=0q\in\mathbf R\overline q

ii) Si \mathbf u ou \mathbf v n’est pas nul, alors l’un est un multiple réel de l’autre. Supposons par exemple que \mathbf v=a\mathbf u, où a\in\mathbf R. La relation r\mathbf v+s\mathbf u=0 donne alors (s+ra)\mathbf u=0 et, donc, s+ra=0 puisque \mathbf u n’est pas nul. Ainsi s=-ar et

q=s+\mathbf v=-a(r-\mathbf u)\in\mathbf R\overline p

Semblablement, si c’est \mathbf u qui est un multiple réel de \mathbf v, alors p\in\mathbf R\overline q.

\boxed{\mathrm{c)}\Longrightarrow \mathrm{a)}}

Cette implication est également presqu’évidente. Par exemple, si p\in\mathbf R\overline q, alors il existe un nombre réel a tel que p=a\overline q de sorte que pq=a\overline qq=a\|q\|^2\in\mathbf R.

Voilà, ce billet s’achève tout doucement. Je pense que l’on pourrait aller plus loin et obtenir des renseignements intéressants sur les couples d’éléments de E linéairement dépendants. J’ai le sentiment que ceci est lié à cette question. Je vais encore réfléchir à tout cela et lever la plume ici.

😉

Coordonnées barycentriques et aires orientées

Dans ce billet, j’ai signalé que les coordonnées barycentriques d’un point par rapport à un triangle sont données par certains rapports d’aires orientées mais je n’ai pas démontré ces formules. Or, il se fait qu’avec la notion de forme volume(*), elles sont immédiates à établir, ce que nous allons voir dans le présent article.

Le contexte est celui-ci : \mathscr E est un plan affine dirigé par un plan vectoriel E muni d’une forme volume \omega.

Par exemple, \mathscr E est un plan affine euclidien orienté. En effet, comme rappelé dans la référence b mentionnée en bas de page, le produit scalaire et l’orientation de E induisent canoniquement une forme volume sur E, à savoir le produit mixte(**).

La forme volume \omega permet de définir une notion d’aire aire orientée. Pour un triangle XYZ, c’est le nombre

\mathscr A_{XYZ}=\frac 12\omega(\overrightarrow{XY},\overrightarrow{XZ})

Cela étant,

Les coordonnées barycentriques (\alpha, \beta, \gamma) d’un point P par rapport à un triangle ABC sont les rapports

\alpha = \dfrac{\mathscr{A}_{PBC}}{\mathscr{A}_{ABC}},\quad \beta = \dfrac{\mathscr{A}_{APC}}{\mathscr{A}_{ABC}},\quad \gamma = \dfrac{\mathscr{A}_{ABP}}{\mathscr{A}_{ABC}}

En effet, puisque

P=\alpha A+\beta B+\gamma C

il vient

2\mathscr A_{APC}=\omega(\beta\overrightarrow{AB}+\gamma\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC})=\beta\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\beta\mathscr{A}_{ABC}

De la même façon, on obtient immédiatement \mathscr A_{ABP}=\gamma\mathscr A_{ABC}. Pour la troisième égalité, il faut travailler un petit peu plus :

\begin{array}{rcl}2\mathscr A_{PBC}&=&\omega(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC})\\[1ex]&=&\omega(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\omega(\alpha\overrightarrow{AB}+\gamma\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\alpha\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\alpha\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\\[1ex]&=&2\alpha\mathscr{A}_{ABC}\end{array}

Voilà, c’est tout pour ce billet. 😉

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(*) Avant de poursuivre, il est peut-être utile de jeter un coup d’œil aux billets que voici : a et b afin de se rafraichir la mémoire à propos des formes volumes sur un espace vectoriel de dimension deux. La notion de forme volume apparaît également ici.
(**) C’est le plus souvent dans ce cas particulier que l’aire orientée est considérée, sans référence explicite à une forme volume. C’est sans doute dommage vu l’efficacité du concept (et le fait qu’il s’agit d’un cas particulier d’une notion extrêmement générale singulièrement utile en géométrie différentielle). Cela dit, deux formes volumes d’un espace vectoriel sont toujours proportionnelles; les quotients apparaissant dans l’énoncé sont donc indépendants de la forme volume \omega, comme de juste.