Une brève, à propos d’un logarithme qui se prend pour une exponentielle!

Comme je l’ai expliqué ici, à chaque équation différentielle isochrone est associée une application exponentielle(*).

Je rappelle sommairement ce que nous allons utiliser du matériel présenté dans ce billet.

Une équation différentielle \ddot x= f(x,\dot x)(**) est isochrone si, et seulement si, f est quadratique en h. (Ce n’est pas la définition mais une caractérisation que nous allons exploiter.) La solution maximale t\mapsto u(t,x_0,h) de cette équation qui vaut x_0\in\Omega en t=0 et dont la dérivée vaut h\in\mathbf R^n en t=0 ne dépend de t et de h que par l’intermédiaire de leur produit : il existe une fonction \exp: (x_0,h)\mapsto \exp_{x_0}(h) telle que, dans l’intervalle de définition de u,

u(t,x_0,h)=\exp_{x_0}(th)

L’application \exp est l’exponentielle associée à l’équation isochrone \ddot x= f(x,\dot x). Je ne vais pas m’étendre ici sur son domaine de définition. J’en dis quelques mots dans ce pdf mais ce ne sera pas utile pour le présent billet. Dans le texte en question, je donne divers exemples d’applications exponentielles. Ils recouvrent les notions d’exponentielle que l’on connait généralement dans l’enseignement secondaire et dans les premières années d’études scientifiques à l’université, parmi lesquelles l’exponentielle de matrices (qui est un cas particulier de l’exponentielle des groupes de Lie, pour ceux qui connaissent ceux-ci).

Sur \mathbf R, les équations isochrones sont les équations de la forme \ddot x=g(x)\dot x^2. On peut dire pas mal de choses à leur propos mais dans ce billet, nous nous contenterons de déterminer l’application exponentielle associée à l’équation isochrone \ddot x = \dot x^2.

Pour résoudre l’équation \ddot x = \dot x^2, x(0)=x_0, \dot x(0)=h nous introduisons, ce qui est classique, l’inconnue y=\dot x. Ceci transforme l’équation en question en le système équivalent

\begin{cases}\dot x=y, \quad x(0)=x_0\\\dot y=y^2, \quad y(0)=h\end{cases}

Comme on le voit, facilement, la solution maximale de l’équation \dot y=y^2, \quad y(0)=h est

y : t\in I_h\mapsto \dfrac h{1-ht}\in \mathbf R

I_h=\begin{cases}]-\infty,\frac 1h[\mathrm{\ si\ }h>0\\[1ex]\mathbf R\mathrm{\ si\ }h=0\\[1ex]]\frac 1h,+\infty[\mathrm{\ si\ }h <0\end{cases}

En fait,

t\in I_h \Longleftrightarrow th<1

De là,

x : t\in I_h\mapsto x_0+\displaystyle{\int_0^t}\frac h{1-hu}du=x_0-\ln(1-ht)

et, donc, l’exponentielle associée à l’équation \ddot x=\dot x^2 est l’application

\exp : (x_0,h)\in\mathbf R\times]-\infty,1[\mapsto x_0+\ln\frac 1{1-h}\in \mathbf R

En particulier, pour l’équation considérée,

\exp_0(h)=\ln\frac 1{1-h}

est un logarithme !

__________
(*) Dans le billet en question, je ne parle que d’équations définies sur un ouvert de \mathbf R^n mais un des cadres les plus généraux où les notions d’équations isochrones et d’exponentielles associées sont disponibles est celui des variétés différentielles.
(**) Où f: (x,h)\in\Omega\times\mathbf R^n \mapsto f(x,h)\in\mathbf R^n est de classe C^k, avec \Omega un ouvert de \mathbf R^n et k>1.

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Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire II

Voici une modeste suite à cet article. Je ne pensais pas qu’elle viendrait si rapidement. Elle va dans le sens de ce que j’écrivais dans les dernières lignes du billet sans pour autant épuiser complètement le sujet, me semble-t-il. Disons que c’est un premier pas dans dans la direction que je souhaite suivre. Il n’y en aura peut-être pas d’autre car ces questions de nature topologique sont assez délicates, du moins pour moi.

Je conserve ici les notations de l’article cité, auquel je vous réfère pour les détails. En plus, pour alléger l’écriture nous conviendrons de désigner par L^* l’ensemble des éléments non nuls de tout espace vectoriel L.

Pour rappel, nous avons vu que des éléments \mathbf u,\mathbf v de l’espace vectoriel E sont linéairement dépendants et sont liés par la relation linéaire r\mathbf v+s\mathbf u=0 si, et seulement si, le produit des quaternions p=r+\mathbf u et q=s+\mathbf v est réel.

Nous allons étudier ici le produit de quaternions comme une application différentiable \mathscr P de \mathbf H_E^2 dans \mathbf H_E et, tout naturellement, nous intéresser plus particulièrement à la structure de la pré-image de l’ensemble des quaternions réels par cette application.

Comme nous allons le voir, \mathscr P est singulier en (0,0). Par contre, sa restriction \mathbf P à \mathbf H_E^{2*} est une submersion surjective. C’est donc plutôt la pré-image de \mathbf R\simeq \mathbf R+\{0\}\subset \mathbf H_E par cette restriction que nous allons étudier. Nous constaterons que c’est une variété différentiable ayant une structure assez simple.

L’application linéaire tangente de \mathscr P

Soient \xi=(p,q)\in \mathbf H_E^2 et un vecteur tangent \tau=(h,k)\in T_\xi\mathbf H_E^2\simeq \mathbf H_E^2. La dérivée de \mathscr P dans la direction de \tau est donnée par

\begin{array}{rcl}\mathscr P_{*\xi}\tau&=&\frac d{dt}(p+th)(q+tk)_{|t=0}\\[1ex]&=&pk+hq\end{array}

D’après cette formule, si \xi est nul, alors \mathscr P_{*\xi}=0 tandis que si \xi n’est pas nul, alors \mathscr P_{*\xi} est surjectif. Par conséquent, l’application \mathscr P est singulière à l’origine. De plus, comme \mathbf H_E^{2*} est un ouvert de \mathbf H_E^2, les applications linéaires tangentes à \mathbf P et à \mathscr P en chaque \xi\in \mathbf H_E^{2*} coïncident. L’application \mathbf P, qui est par ailleurs visiblement surjective, est donc une submersion.

La variété V_E

L’ensemble V_E=\mathbf P^{-1}\mathbf R est une variété plongée de \mathbf H_E^{2*} de dimension cinq.

D’après le théorème de transversalité pour les sous-variétés, il résulte en effet de ce qui précède que V_E est une variété plongée de \mathbf H_E^{2*} et qu’en plus, son espace tangent en \xi est la pré-image par \mathbf P_{*\xi} de l’espace tangent à \mathbf R en \mathbf P(\xi). Ce dernier s’identifie à \mathbf R. Par conséquent,

T_\xi V_E=\{(h,k)\in\mathbf H_E^2|pk+hq\in\mathbf R\}

De là, \dim V_E=5. En effet, si p n’est pas nul, alors T_\xi V_E est l’image de l’application linéaire

(h,a)\in\mathbf H_E\times\mathbf R\mapsto (h,-p^{-1}hq+ap^{-1})\in\mathbf H_E^2

et si q n’est pas nul, c’est celle de

(k,a)\in\mathbf H_E\times\mathbf R\mapsto (aq^{-1}-pkq^{-1},k)\in\mathbf H_E^2

On conclut en notant que ces deux applications sont injectives.

Les fibres de \mathbf P:V_E\to \mathbf R

Par définition, il s’agit des ensembles \mathbf P^{-1}\{\varphi\}, \varphi\in\mathbf R. Il est évident que si \varphi n’est pas nul, alors

\mathbf P^{-1}\{\varphi\}=\{(p,\varphi p^{-1})|p\in\mathbf H_E^*\}

et que

\mathbf P^{-1}\{0\}= \mathbf H_E^*\times\{0\}\cup\{0\}\times\mathbf H_E^*

Voici deux conséquences de ceci. La première est immédiate.

L’application (\varphi,p)\mapsto (p,\varphi p^{-1}) est un difféomorphisme de \mathbf R^*\times \mathbf H_E^* sur l’ouvert \mathbf P^{-1}\mathbf R^* de V_E.

Ensuite

L’application P:V_E\to \mathbf R n’est pas un fibré localement trivial.

En effet, si c’était un tel fibré alors il serait trivialisable car \mathbf R est contractile.
Mais alors, toutes ses fibres seraient homéomorphes. Or les fibres \mathbf P^{-1}\{\varphi\}, \varphi\in\mathbf R^*, sont connexes (elles sont homéomorphes à \mathbf H_E^*) alors que \mathbf P^{-1}\{0\} ne l’est pas(*).

Conclusions

Nous y voyons à présent un peu plus clair sur les couples d’éléments linéairement dépendants de E et les relations linéaires qui les lient. Comme on l’a vu dans le billet cité au début de cet article, ces données sont encodées dans \mathscr P^{-1}\mathbf R.

Ce qui précède montre que cet espace topologique admet une stratification naturelle, de même que V_E :

\mathscr P^{-1}\mathbf R=\{(0,0)\}\cup \underbrace{\mathbf P^{-1}\{0\}\cup\mathbf P^{-1}\mathbf R^*}_{V_E}

Contrairement à V_E, \mathscr P^{-1}\mathbf R n’est pas une variété plongée dans \mathbf H_E^2 car c’est en fait un cône, de sommet \{0\}.
Quant à \mathbf P: V_E\to\mathbf R, il s’en est fallu de peu que ce soit un fibré localement trivial. C’est la faute à la fibre particulière \mathbf P^{-1}\{0\} qui n’a pas le bon goût d’être difféomorphe aux autres. Par contre, celles-ci s’entendent bien entre elles : le fibré \mathbf P :P^{-1}\mathbf R^*\to \mathbf R^* admet une trivialisation globale canonique.

__________
(*) Si L est un espace vectoriel de dimension finie, alors L^*\times\{0\}\cup\{0\}\times L^* n’est pas connexe pour la topologie induite par L\times L. En effet, les deux fermés L^*\times\{0\} et \{0\}\times L^* partitionnent L^*\times\{0\}\cup\{0\}\times L^*.

Petite remarque sur les quaternions et la dépendance linéaire

Quaternions …

Considérons un espace vectoriel réel E de dimension trois, euclidien et orienté. Nous noterons (\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\cdot\mathbf v son produit scalaire et (\mathbf u,\mathbf v)\mapsto \mathbf u\wedge\mathbf v son produit vectoriel.

L’algèbre \mathbf H_E des quaternions sur E généralise de façon simple celle des quaternions classiques, \mathbf H. C’est l’espace vectoriel \mathbf R\oplus E muni du produit associatif (la vérification est facile par calcul direct)

(r+\mathbf u,s+\mathbf v)\mapsto (rs-\mathbf u\cdot\mathbf v)+(r\mathbf v+s\mathbf u+\mathbf u\wedge\mathbf v)

En fait, tout comme \mathbf H (que l’on pourrait noter \mathbf H_{\mathbf R^3}), c’est un corps. L’inverse d’un quaternion non nul p=r+\mathbf u est le quaternion \overline p/|p|^2, où |p|=\sqrt{r^2+\|u\|^2} est le module de p et \overline p:=r-\mathbf u est son conjugué. Remarquons que, tout comme pour les nombres complexes et les quaternions classiques, on a |p|^2=p\overline p=\overline pp.

… et dépendance linéaire

Par définition, des éléments \mathbf u,\mathbf v de E sont linéairement dépendants s’il existe des nombres réels r et s dont l’un au moins n’est pas nul tels que s\mathbf u+r\mathbf v=0.

Nous dirons qu’une égalité de la forme s\mathbf u+r\mathbf v=0 est une relation liant \mathbf u et \mathbf v et qu’elle est triviale si r=s=0 et non triviale sinon.

Curieusement, le fait que deux éléments de E soient linéairement dépendants et les relations, triviales ou non, les liant sont facilement encodés au moyen du produit des quaternions. En effet,

Soient p=r+\mathbf u et q=s+\mathbf v des quaternions sur E. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

a) pq\in\mathbf R

b) \mathbf u et \mathbf v sont linéairement dépendants et s\mathbf u+r\mathbf v=0

c) p\in\mathbf R\overline q\quad \lor \quad q\in\mathbf R\overline p

Les vérifications sont faciles. Voici un exemple d’une façon de faire.

\boxed{\mathrm{a)}\Longrightarrow \mathrm{b)}}

Cette implication est assez évidente. Si a) est vrai, alors, d’après la définition du produit de quaternions, on a

(1) r\mathbf v+s\mathbf u+\mathbf u\wedge\mathbf v=0

En multipliant les deux membres de cette égalité scalairement par \mathbf u\wedge\mathbf v, on obtient \|\mathbf u\wedge\mathbf v\|^2=0. Ainsi, \mathbf u\wedge\mathbf v est nul, ce qui signifie que \mathbf u et \mathbf v sont linéairement dépendants. De plus, il résulte alors de (1) que r\mathbf v+s\mathbf u=0.

\boxed{\mathrm{b)}\Longrightarrow \mathrm{c)}}

Pour cette implication, il faut travailler un tout petit peu plus. Nous supposons b) vrai et nous discutons sur \mathbf u et \mathbf v.

i) S’ils sont nuls alors p et q sont réels, donc égaux à leurs propres conjugués. Dès lors, si r n’est pas nul, alors

q=\dfrac srp\in\mathbf R\overline p

sinon, on a

p=0q\in\mathbf R\overline q

ii) Si \mathbf u ou \mathbf v n’est pas nul, alors l’un est un multiple réel de l’autre. Supposons par exemple que \mathbf v=a\mathbf u, où a\in\mathbf R. La relation r\mathbf v+s\mathbf u=0 donne alors (s+ra)\mathbf u=0 et, donc, s+ra=0 puisque \mathbf u n’est pas nul. Ainsi s=-ar et

q=s+\mathbf v=-a(r-\mathbf u)\in\mathbf R\overline p

Semblablement, si c’est \mathbf u qui est un multiple réel de \mathbf v, alors p\in\mathbf R\overline q.

\boxed{\mathrm{c)}\Longrightarrow \mathrm{a)}}

Cette implication est également presqu’évidente. Par exemple, si p\in\mathbf R\overline q, alors il existe un nombre réel a tel que p=a\overline q de sorte que pq=a\overline qq=a\|q\|^2\in\mathbf R.

Voilà, ce billet s’achève tout doucement. Je pense que l’on pourrait aller plus loin et obtenir des renseignements intéressants sur les couples d’éléments de E linéairement dépendants. J’ai le sentiment que ceci est lié à cette question. Je vais encore réfléchir à tout cela et lever la plume ici.

😉

Coordonnées barycentriques et aires orientées

Dans ce billet, j’ai signalé que les coordonnées barycentriques d’un point par rapport à un triangle sont données par certains rapports d’aires orientées mais je n’ai pas démontré ces formules. Or, il se fait qu’avec la notion de forme volume(*), elles sont immédiates à établir, ce que nous allons voir dans le présent article.

Le contexte est celui-ci : \mathscr E est un plan affine dirigé par un plan vectoriel E muni d’une forme volume \omega.

Par exemple, \mathscr E est un plan affine euclidien orienté. En effet, comme rappelé dans la référence b mentionnée en bas de page, le produit scalaire et l’orientation de E induisent canoniquement une forme volume sur E, à savoir le produit mixte(**).

La forme volume \omega permet de définir une notion d’aire aire orientée. Pour un triangle XYZ, c’est le nombre

\mathscr A_{XYZ}=\frac 12\omega(\overrightarrow{XY},\overrightarrow{XZ})

Cela étant,

Les coordonnées barycentriques (\alpha, \beta, \gamma) d’un point P par rapport à un triangle ABC sont les rapports

\alpha = \dfrac{\mathscr{A}_{PBC}}{\mathscr{A}_{ABC}},\quad \beta = \dfrac{\mathscr{A}_{APC}}{\mathscr{A}_{ABC}},\quad \gamma = \dfrac{\mathscr{A}_{ABP}}{\mathscr{A}_{ABC}}

En effet, puisque

P=\alpha A+\beta B+\gamma C

il vient

2\mathscr A_{APC}=\omega(\beta\overrightarrow{AB}+\gamma\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC})=\beta\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\beta\mathscr{A}_{ABC}

De la même façon, on obtient immédiatement \mathscr A_{ABP}=\gamma\mathscr A_{ABC}. Pour la troisième égalité, il faut travailler un petit peu plus :

\begin{array}{rcl}2\mathscr A_{PBC}&=&\omega(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC})\\[1ex]&=&\omega(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\omega(\alpha\overrightarrow{AB}+\gamma\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\alpha\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\\[1ex]&=&\alpha\omega(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\\[1ex]&=&2\alpha\mathscr{A}_{ABC}\end{array}

Voilà, c’est tout pour ce billet. 😉

__________
(*) Avant de poursuivre, il est peut-être utile de jeter un coup d’œil aux billets que voici : a et b afin de se rafraichir la mémoire à propos des formes volumes sur un espace vectoriel de dimension deux. La notion de forme volume apparaît également ici.
(**) C’est le plus souvent dans ce cas particulier que l’aire orientée est considérée, sans référence explicite à une forme volume. C’est sans doute dommage vu l’efficacité du concept (et le fait qu’il s’agit d’un cas particulier d’une notion extrêmement générale singulièrement utile en géométrie différentielle). Cela dit, deux formes volumes d’un espace vectoriel sont toujours proportionnelles; les quotients apparaissant dans l’énoncé sont donc indépendants de la forme volume \omega, comme de juste.

Où sont les orthocentres d’un triangle?

Considérons un plan affine \mathscr E dirigé par le plan vectoriel E et un triangle \Delta de \mathscr E.

Le choix d’un produit scalaire g sur E dote le triangle \Delta d’attributs métriques. De façon non exhaustive : des bissectrices, des hauteurs, des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits, des longueurs pour ses côtés, des mesures pour ses angles, etc.

Dans ce billet, on se propose de déterminer le lieu de l’orthocentre de \Delta obtenu en laissant g décrire l’ensemble des produits scalaires de E(*).

Un énoncé

Nous allons montrer que ce lieu, dont voici un aperçu :

lieu

est constitué de trois parties.

  • L’ensemble des trois sommets du triangle
  • Ce sont naturellement les points du lieu correspondant aux produits scalaires pour lesquels \Delta est un triangle rectangle. Ils sont les seuls points du lieu appartenant aux côtés du triangle.

  • L’intérieur du triangle
  • Cette partie est le lieu de l’orthocentre de \Delta correspondant aux produits scalaires pour lesquels il est acutangle.

  • L’union des intérieurs des trois angles opposés par le sommet aux angles du triangle
  • C’est le lieu de l’orthocentre de \Delta correspondant aux produits scalaires pour lesquels il a un angle obtus (et qui est alors l’angle opposé à celui dans lequel se trouve l’orthocentre).

Pour formuler cette description de façon analytique, nous allons utiliser des coordonnées barycentriques relatives à \Delta. Choisissons, arbitrairement, un ordre pour ses sommets que nous nommerons A, B et C. Tout point P du plan \mathscr E s’écrit alors de façon unique sous la forme d’une combinaison affine

P=uA+vB+wC

(pour rappel, la somme des nombres u,v,w vaut 1). Les nombres u,v,w sont les coordonnées barycentriques de P par rapport au triangle ABC.

Naturellement, les coordonnées barycentriques de A,B,C sont, dans l’ordre (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) et les côtés du triangle ont pour équations u=0 pour BC, etc.

La figure suivante donne les signes des coordonnées barycentriques de P en fonction de sa position dans le complémentaire des côtés du triangle. Par exemple, « -++ » indique que dans la région concernée, u est négatif et v,w sont positifs.

signes

Nous pouvons donc énoncer :

(1) Il existe un produit scalaire de E pour lequel un point de \mathscr E est un orthocentre du triangle \Delta si, et seulement si, soit ce point est un sommet du triangle soit le produit de ses coordonnées barycentriques par rapport à ce triangle (pour un ordre arbitraire des sommets de celui-ci) est strictement positif.

et une de ses preuves

\boxed{1} Notons g un produit scalaire de E et

\begin{pmatrix}p&r\\r&q\end{pmatrix}

la matrice symétrique définie positive qui le représente dans la base (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) de E.

Cela signifie que si (a,b) et (c,d) sont respectivement les composantes de \mathbf u et \mathbf v dans la base en question, alors

(2) g(\mathbf u,\mathbf v)=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&r\\r&q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}

D’autre part, pour qu’une matrice de la forme ci-dessus soit définie positive, il est nécessaire et suffisant que p,pq-r^2>0.

Ceci étant rappelé, avec les notations que nous venons d’introduire,

Les coordonnées barycentriques de l’orthocentre du triangle ABC dans l’espace euclidien (\mathscr E,g) sont

(3) \left(\dfrac{(p-r)(q-r)}{pq-r^2},\dfrac{r(q-r)}{pq-r^2},\dfrac{r(p-r)}{pq-r^2}\right)

En effet, la somme des nombres \frac{(p-r)(q-r)}{pq-r^2},\frac{r(q-r)}{pq-r^2},\frac{r(p-r)}{pq-r^2} vaut 1. Ils sont donc les coordonnées barycentriques d’un point de E par rapport à ABC. C’est le point H de coordonnées

\left(\dfrac{r(q-r)}{pq-r^2},\dfrac{r(p-r)}{pq-r^2}\right)

dans le repère (A,(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})) de \mathscr E. A l’aide de la formule (2), il est alors immédiat de vérifier que

\overrightarrow{BH}\perp\overrightarrow{AC}\quad \& \quad \overrightarrow{CH}\perp\overrightarrow{AB}

Ainsi, H est l’orthocentre du triangle ABC pour le produit scalaire g.

\boxed{2\ \mathrm a)} Soient un produit scalaire g de E et H l’orthocentre qu’il donne au triangle ABC. D’après \boxed{1} dont nous conservons les notations, les coordonnées barycentriques de H sont données par (3). Visiblement, leur produit est positif ou nul. Il est nul si, et seulement si, r=0 ou q=r ou p=r c’est à dire lorsque H est un des sommets du triangle. Ainsi, soit H est un sommet de \Delta soit le produit de ses coordonnées barycentriques par rapport à ABC est strictement positif.

\boxed{2\ \mathrm b)} Il est clair que les sommets de \Delta sont des orthocentres potentiels. De toutes façons, il est immédiat de trouver pour chaque sommet des produits scalaires pour lesquels le triangle est rectangle en celui-ci. Par exemple, avec les notations de \boxed{1}, le triangle est rectangle en A,B ou C selon que g est le produit scalaire pour lequel (p,q,r)=(1,1,0), (p,q,r)=(1,2,1) ou (p,q,r)=(2,1,1). Soit alors un point H de E dont le produit des coordonnées barycentriques (u,v,w) par rapport à A,B,C est strictement positif. Nous allons voir qu’il existe des nombres p,q,r vérifiant p,pq-r^2>0 et tels que

u=\dfrac{(p-r)(q-r)}{pq-r^2}, v=\dfrac{r(q-r)}{pq-r^2}, w=\dfrac{r(p-r)}{pq-r^2}

et donc que H est un orthocentre de \Delta.

Les relations ci-dessus impliquent en effet que

p=(1+\frac{u}{v})r, \ q=(1+\frac{u}{w})r

Les coordonnées (u,v,w) étant homogènes de poids nul en p,q et r, ces derniers ne sont définis qu’à un multiple près (conformément au fait que les coordonnées barycentriques de l’orthocentre sont invariantes par similitude). Les valeurs de p et q ci-dessus conviennent donc à condition de pouvoir choisir r pour que p,q,r vérifient les inégalités p>0 et pq-r^2>0. La condition p>0 détermine le signe de r, qui ne peut être nul(**). D’autre part, avec les valeurs de p et de q ci-dessus, on a

pq-r^2=\frac{u}{vw}r^2>0

L’énoncé (1) est ainsi démontré.

__________
(*) Ce qui suit est fortement inspiré du huitième chapitre de mon livre Le mathématicien et ses esclaves publié en 2009 aux Presses Universitaires Liégeoises dans la collection Si les mathématiques m’étaient contées.
(**) Le nombre 1+\frac uv n’est pas nuls car uvw>0. De fait, si 1+\frac uv est nul alors u+v=0, ce qui implique w=1 et, donc, uvw\leqslant 0.

Une petite formule et les éléments de Frenet d’une courbe régulière

Une petite formule

Voici d’abord la « petite formule ». J’expliquerai plus loin à quoi elle va nous servir.

Nous considérons une fonction f de classe C^1 d’un intervalle ouvert I\subset\mathbf R dans \mathbf R^3 ne s’annulant nulle part. Alors

\boxed{\left(\frac{f}{\|f\|}\right)'=\frac{(f\wedge f')\wedge f}{\|f\|^3}}

et, en conséquence,

\boxed{\left\|\left(\frac{f}{\|f\|}\right)'\right\|=\frac{\|f\wedge f'\|}{\|f\|^2}}

On désigne ici par \wedge le produit vectoriel associé au produit scalaire et à l’orientation canoniques de \mathbf R^3.

Comme f\wedge f' et f sont orthogonaux, on a \|(f\wedge f')\wedge f\|=\|f\wedge f'\|\|f\| et on obtient alors immédiatement la seconde formule en prenant les normes des deux membres de la première.

Celle-ci s’obtient en appliquant la formule standard donnant la dérivée d’un quotient puis en développant un peu le résultat. En détails, le point centré \cdot représentant le produit scalaire,

\begin{array}{rcl}\left(\frac{f}{\|f\|}\right)'&=&\frac 1{\|f\|^2}(\|f\|f'-\|f\|'f)\\[2ex]&=&\frac 1{\|f\|^2}\left(\|f\|f'-\frac{f\cdot f'}{\|f\|}f\right)\\[2ex]&=&\frac 1{\|f\|^3}(\|f\|^2f'-(f\cdot f')f)\\[2ex]&=&\frac1{\|f\|^3}(f\wedge f')\wedge f\end{array}

La dernière égalité s’obtient en appliquant la formule du double produit vectoriel tandis que, pour la seconde, on a utilisé la formule

\|f\|'=\cfrac{f\cdot f'}{\|f\|}

que l’on obtient aisément en dérivant les deux membres de \|f\|^2=f\cdot f.

Où allons-nous et pourquoi?

Une des difficultés techniques récurrentes que l’on rencontre lorsqu’on enseigne la théorie élémentaire des courbes de \mathbf R^3 est d’établir les formules donnant le trièdre de Frenet, la courbure et la torsion d’une courbe lorsqu’elle est décrite au moyen d’un paramétrage quelconque et non à l’aide d’une abscisse curviligne.

J’ai emprunté à John Roe(*) ce qu’il appelle lui-même un truc permettant d’obtenir relativement rapidement les formules donnant ces grandeurs mais il s’est avéré à l’usage qu’il était assez difficile à utiliser pédagogiquement : passablement artificiel, il me fallait régulièrement le réétudier avant d’aller donner cours et, visiblement, les étudiants ne l’appréciaient pas trop ayant eux mêmes des difficultés à le mémoriser efficacement.

Récemment, je me suis penché à nouveau sur la question et je suis parvenu à obtenir une méthode directe, facile à mettre en œuvre, aisée à mémoriser et suffisamment naturelle pour ne pas rebuter les étudiants lesquels, tout comme moi-même, n’aiment pas trop les deus ex machina. Pour surprenant que cela puisse paraitre, c’est la première formule prouvée plus haut qui, d’une certaine façon, est la clé de la simplicité de ces calculs. Elle et son corollaire interviennent à plusieurs reprises et l’avoir préalablement établie allège sensiblement la présentation de ceux-ci.

Je vais vous montrer comment cela fonctionne après avoir rappelé un minimum de choses à propos du trièdre de Frenet, de la courbure et de la torsion.

Rappels

a) Pour une courbe(**) (J,\eta) de \mathbf R^3 rapportée à une abscisse curviligne, les équations de Frenet s’écrivent

\begin{cases}\mathbf t'=\kappa\mathbf n\\ \mathbf n'=-\kappa\mathbf t+\tau\mathbf b\\\mathbf b'=-\tau\mathbf n\end{cases}

\mathbf t, \mathbf n et \mathbf b sont la tangente unitaire, la normale principale et la binormale de la courbe. Les fonctions \kappa et \tau sont la courbure, supposée sans zéros, et la torsion de cette courbe; la base orthonormée positive (\mathbf t,\mathbf n,\mathbf b) de \mathbf R^3 est communément appelée trièdre de Frenet de \eta (au point de J où toutes ces fonctions sont évaluées).

En fait, \mathbf t=\eta' et la première équation de Frenet condense, en quelque sorte, les définitions de \kappa=\|\mathbf t'\| et de \mathbf n=\mathbf t'/\|\mathbf t'\|. La binormale est alors simplement le produit vectoriel \mathbf t\wedge \mathbf n.

Le fait que l’argument de \eta soit une abscisse curviligne rend particulièrement simples et naturelles les définitions de son trièdre de Frenet, de sa courbure et de sa torsion. Pour une courbe dont l’argument n’est pas de la même nature, les définitions de ces éléments sont un peu plus compliquées. Nous allons voir de quoi il retourne au paragraphe suivant.

b) Une courbe (I,\gamma) régulière, c’est-à-dire dont le vecteur tangent n’a pas de zéros, est équivalente à un paramétrage rapporté à une abscisse curviligne (J,\eta) de même orientation : il existe un changement de paramètre u: I\to J tel que \gamma=\eta\circ u.

Alors, par définition, les tangente unitaire, normale principale etc. de \gamma sont celles de \eta calculées en u. Par exemple(***), la courbure \kappa_\gamma de \gamma est \kappa_\eta\circ u. Semblablement, \mathbf t_\gamma=\mathbf t_\eta\circ u, etc.

Naturellement, il faut vérifier que ces notions sont indépendantes du paramétrage naturel (J,\eta) auxiliaire choisi pour les introduire. En fait, cela résulte de ce qu’elles s’expriment toutes par des formules utilisant exclusivement \gamma et ses dérivées.

C’est précisément à l’obtention de ces formules qu’est consacré le reste de ce billet.

La tangente unitaire

En dérivant la relation \gamma=\eta\circ u à l’aide du théorème de dérivation des fonctions composées, il vient \gamma'=u'\ \eta'\circ u=u'\mathbf t_\gamma. Puisque les deux courbes ont la même orientation, \gamma' et \eta'\circ u ont même sens. Ainsi u' est strictement positif et, compte tenu de ce que \eta'\circ u est normé, il vient u'=\|\gamma'\|. De là

\boxed{\mathbf t_\gamma=\cfrac{\gamma'}{\|\gamma'\|}}

La courbure et la normale principale

En dérivant l’égalité \mathbf t_\gamma=\mathbf t_\eta\circ u, on obtient \mathbf t_\gamma'=\|\gamma'\|\mathbf t_\eta'\circ u puis

\|\mathbf t_\gamma'\|=\|\|\gamma'\|\mathbf t_\eta'\circ u\|=\|\gamma'\|\kappa_\eta\circ u=\|\gamma'\|\kappa_\gamma

De là, en appliquant la conséquence de la « petite formule »,

\boxed{\kappa_\gamma=\cfrac{\|\gamma'\wedge\gamma''\|}{\|\gamma'\|^3}}

Pour aller plus loin, nous devons supposer que la courbure de \eta, et donc celle de \gamma, soit sans zéros. C’est en effet à cette condition que le trièdre de Frenet et la torsion existent. Pour le reste de ce billet, nous supposons donc que les deux vecteurs \gamma' et \gamma'' sont partout linéairement indépendants.

Dans ces conditions, d’après la première équation de Frenet et les définitions données plus haut,

\mathbf t_\gamma'=\|\gamma'\|\mathbf t_\eta'\circ u=\|\gamma'\|\kappa_\gamma\mathbf n_\gamma

Ainsi, vu la « petite formule » et l’expression de \kappa_\gamma que nous venons de trouver,

\boxed{n_\gamma=\cfrac{(\gamma'\wedge\gamma'')\wedge\gamma'}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|\|\gamma'\|}}

La binormale et la torsion

Vu les définitions,

\mathbf b_\gamma=\mathbf b_\eta\circ u=(\mathbf t_\eta\circ u)\wedge(\mathbf n_\eta\circ u)=\mathbf t_\gamma\wedge\mathbf n_\gamma

Avec les formules déjà obtenues et la formule du double produit vectoriel(****), il vient

\mathbf t_\gamma\wedge\mathbf n_\gamma=\cfrac{\gamma'\wedge((\gamma'\wedge\gamma'')\wedge\gamma')}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|\|\gamma'\|^2}=\cfrac{\|\gamma'\|^2\gamma'\wedge\gamma''-(\gamma'\cdot(\gamma'\wedge\gamma''))\gamma'}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|\|\gamma'\|^2}

Dès lors, puisque \gamma'\cdot(\gamma'\wedge\gamma'') est nul,

\boxed{\mathbf b_\gamma=\cfrac{\gamma'\wedge\gamma''}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|}}

Pour calculer la torsion de \gamma, nous allons dériver \mathbf b_\gamma et nous utiliserons la troisième équation de Frenet. On a

\mathbf b_\gamma'=(\mathbf b_\eta\circ u)'=\|\gamma'\|\mathbf b_\eta'\circ u=-\|\gamma'\|\tau_\gamma\mathbf n_\gamma

D’après la « petite formule » appliquée à f=\gamma'\wedge\gamma'', dont la dérivée est \gamma'\wedge\gamma''',

\begin{array}{rcl}\mathbf b_\gamma'&=&\cfrac{((\gamma'\wedge\gamma'')\wedge(\gamma'\wedge\gamma'''))\wedge(\gamma'\wedge\gamma'')}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|^3}\\[2ex]&=&\cfrac{[\gamma',\gamma'',\gamma''']}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|^3}\ \gamma'\wedge(\gamma'\wedge\gamma'')\end{array}

[-,-,-] désigne le produit mixte (-\wedge -)\cdot - de \mathbf R^3. Pour obtenir la seconde égalité, on a appliqué la formule du double produit vectoriel à (\gamma'\wedge\gamma'')\wedge(\gamma'\wedge\gamma''') vu comme produit des trois facteurs \gamma'\wedge\gamma'',\gamma' et \gamma''' et, comme plus haut, on a tenu compte de ce que \gamma'\cdot(\gamma'\wedge\gamma'') est nul.

Il résulte alors immédiatement de la formule obtenue ci-dessus pour \mathbf n_\gamma que

\boxed{\tau_\gamma=\cfrac{[\gamma',\gamma'',\gamma''']}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|^2}}

__________
(*) John Roe : Elementary Geometry, Oxford University Press, 1993 — un magnifique livre!
(**) Suivant en cela C. G. Gibson : Elementary Geometry of Differentiable Curves, Cambridge University Press, 2001 (également un très beau livre), j’appelle courbe ou paramétrage (de \mathbf R^3 pour ce qui nous concerne ici) une application différentiable \eta : J\to \mathbf R^3, où J est un intervalle ouvert de \mathbf R. Il ne s’agit donc pas d’un ensemble de points; l’ensemble de point auquel on se serait peut-être attendu est l’image \eta(J) de \eta. Il est appelé trace de \eta par Gibson. Géométriquement, c’est cette trace qui est significative, aussi introduit-on la notion d’équivalence de paramétrages : deux paramétrages de même trace (J,\eta) et (I,\gamma) sont dits équivalents s’il existe un changement de variable régulier u: I\to J tel que \gamma=\eta\circ u.
(***) Pour préciser de quelle courbe on calcule la grandeur X, on indice si nécessaire celle-ci par le nom de la courbe : X_\gamma, X_\eta etc.
(****) Les trois facteurs sont \gamma',\gamma'\wedge\gamma'' et \gamma'.

Une remarque à propos de certaines séries de puissances III

Le but de ce billet est de calculer les séries

\displaystyle \mathscr S_r=\sum_{k=0}^\infty k^rx^k, r\in\mathbf N

J’en ai parlé ici où j’ai par ailleurs introduit les polynômes \xi_r\in\mathbf K[t], \mathbf K\in\{\mathbf R,\mathbf C\}, dont j’ai présenté quelques propriétés ici.

Ceux-ci sont tels que \mathscr S_r=\xi_r\left(\frac 1{1-x}\right) et sont univoquement déterminés par le fait qu’ils vérifient

(1) \forall r\in\mathbf N,\quad \xi_{r+1}=t(t-1)\xi'_r

et par la condition initiale \xi_0=t. Chaque \xi_r est de degré r+1 et s’annule en 0.

La série génératrice des \xi_r

Il s’agit, par définition, de la série \displaystyle \xi_\lambda=\sum_{r=0}^\infty\xi_r\lambda^r.

Cette série vérifie une certaine équation différentielle et, grâce à celle-ci, nous allons pouvoir la calculer.

En effet, multipliant les deux membres de (1) par \lambda^{r+1} puis en sommant sur r, il vient facilement

\lambda t(t-1)\xi'_\lambda-\xi_\lambda+t=0,\quad \xi_\lambda(0)=0

Nous chercherons \xi_\lambda sous la forme \displaystyle\xi_\lambda=\sum_{k=1}^\infty u_kt^k ce qui, injecté dans l’équation différentielle, donne l’équation

\displaystyle \lambda\sum_{k=2}^\infty(k-1)u_{k-1}t^k-\sum_{k=1}^\infty(\lambda k+1)u^kt^k+t=0

Formellement(*), ceci équivaut au système

\begin{cases}\forall k>1,\quad \lambda(k-1)u_{k-1}-(\lambda k+1)u_k=0\\[2ex](\lambda +1)u_1=1\end{cases}

ce dont on déduit aisément que

\displaystyle \forall k>0,\quad u_k=(k-1)!\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k\lambda+1)\cdots(\lambda+1)}

Ainsi que nous l’avions fait dans le premier billet mentionné au début, posons \xi_r(t)=\sum_{i=1}^{r+1}a_{r,i}t^i. Nous venons de démontrer que

\displaystyle\boxed{\forall k>0, \quad\sum_{r=k-1}^\infty a_{r,k}\lambda^r=(k-1)!\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k\lambda+1)\cdots(\lambda+1)}}

Une formule pour \ a_{r,k}

En développant en fractions simples le membre de gauche de l’égalité encadrée, nous allons calculer les coefficients a_{r,k}.

Nous cherchons les éléments v_i de \mathbf K tels que

\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k\lambda+1)\cdots(\lambda+1)}=\dfrac{v_1}{\lambda+1}+\dfrac{v_2}{2\lambda+1}+\cdots+\dfrac{v_k}{k\lambda+1}

C’est facile : comme les zéros du dénominateur de la fraction à décomposer sont simples, il suffit, après avoir chassé les dénominateurs dans cette égalité, d’évaluer les deux membres de l’égalité obtenue en chacun de leurs zéros. On trouve

\displaystyle\forall i\in\{1,\ldots,k\},\quad v_i=\dfrac{(-1)^{i+1}}{(i-1)!(k-i)!}

Cela étant, en utilisant la série géométrique \sum_{r=0}^\infty\lambda^r=\frac{1}{1-\lambda}, il vient

\displaystyle\dfrac{v_1}{\lambda+1}+\dfrac{v_2}{2\lambda+1}+\cdots+\dfrac{v_k}{k\lambda+1}=\sum_{r=0}^\infty\left(\sum_{i=1}^kv_i(-i)^r\right)\lambda^r

Dès lors

\displaystyle \boxed{a_{r,k}=(-1)^r\sum_{i=0}^{k-1}{k-1 \choose i}(-1)^i(i+1)^r}

et, donc,

\displaystyle \boxed{\mathscr S_r(x)=\sum_{k=0}^\infty k^rx^k=\sum_{i=1}^{r+1}\left((-1)^r\sum_{j=0}^{i-1}{i-1 \choose j}(-1)^j(j+1)^r\right)\frac 1{(1-x)^i}}

Deux formules remarquables

Dans le premier article cité plus haut, nous avions obtenu ceci :

\displaystyle a_{r,1}=(-1)^r,\quad a_{r,2}=(-1)^{r+1}2^r+(-1)^r, \quad a_{r,r}=-\frac 12(r+1)!, \quad a_{r,r+1}=r!

La seconde formule encadrée redonne facilement les deux premières égalités. Par contre, il n’est pas immédiat qu’elle redonne les deux dernières. En comparant celles-ci avec les expressions qu’elle donne de a_{r,r} et de a_{r,r+1}, nous obtenons deux égalités remarquables :

\displaystyle (-1)^r\sum_{i=1}^r\dfrac{(-1)^ii^r}{(i-1)!(r-i)!}=\dfrac{r(r+1)}2\   \& \   (-1)^{r+1}\sum_{i=1}^{r+1}\frac{(-1)^ii^r}{(i-1)!(r+1-i)!}=1

Les nombres

\displaystyle \sum_{i=1}^k\frac{(-1)^{k-i}i^r}{(i-1)!(k-i)!}

semblent avoir de belles propriétés. Pour l’instant je ne sais rien dire de plus à leur propos. Peut-être une autre fois…

😉

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(*) Les calculs sont menés dans le cadre des séries formelles. Leur éventuelle convergence ne sera pas étudiée ici.