Algèbres de Poisson quantiques et classiques II

Pour poursuivre ce billet, nous allons présenter les algèbres de Poisson classiques. Elles sont étroitement liées aux algèbres de Poisson quantiques, toute algèbre de Poisson quantique donnant naissance de façon canonique à une algèbre de Poisson classique, sa limite semi-classique.

La terminologie adoptée, quantique, classique, limite semi-classique,… est manifestement empruntée à la mécanique quantique. J’ai bien une petite idée sur les raisons de ces choix lexicaux mais, ne lisant pas dans les pensées d’autrui et, surtout, n’étant pas très versé en mécanique quantique, je ne me risquerai pas à l’exposer(*). Du reste cette sympathique connotation physique n’a que peu de chose à voir avec la question autour de laquelle gravitent ces billets, à savoir caractériser des variétés différentielles par des algèbres de Lie qui leur sont naturellement associées. Cependant, je me devais de vous dire un mot à propos de cette terminologie.

Algèbres de Poisson classiques

Une algèbre de Poisson classique \mathcal S est une algèbre de Poisson dont la structure associative est commutative et qui admet une graduation

\mathcal S=\bigoplus_{i\in \mathbb N}\mathcal S^i

telle que

\forall i,j\in \mathbb N, \quad \mathcal S^i\mathcal S^j\subset \mathcal S^{i+j} \quad \& \quad \{\mathcal S^i,\mathcal S^j\}\subset \mathcal S^{i+j-1}

\{\ ,\ \} est le crochet de Lie de \mathcal S. Pour donner un sens à cette condition, il faut préciser ce qu’est \mathcal S^{-1}. En fait, on convient d’étendre la graduation à \mathbb Z et que les termes ajoutés sont tous égaux à \{0\}.

Les termes de « bas degrés » (i=0, i=1) donnent lieu à des remarques analogues à celles formulées pour les premiers filtres d’une algèbre de Poisson quantique. L’espace \mathcal S^0 est une sous-algèbre associative de \mathcal S, appelée la base de \mathcal S. Ensuite, \mathcal S^1 est une sous-algèbre de Lie de \mathcal S qui agit par dérivations sur la base.

La limite semi-classique d’une algèbre de Poisson quantique

A tout espace vectoriel \mathcal F muni d’une filtration (croissante)

\mathcal F=\bigcup_{i\in\mathbb Z}\mathcal F^i

est associé de façon naturelle un espace vectoriel gradué, à savoir

\mathcal S_\mathcal F=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}\mathcal F^i/\mathcal F^{i-1}

Lorsque la filtration est celle d’une algèbre de Poisson quantique, ce que nous supposons désormais, le comportement des opérations de l’algèbre (produit associatif et crochet de Lie) vis-à-vis de la filtration fait que ces opérations passent au gradué et induisent sur ce dernier une structure de Poisson classique(**). Voyons ceci en détail. On définit d’abord les opérations sur des éléments homogènes puis on étend par bilinéarité. Pour chaque indice i, nous noterons \pi_i le passage au quotient \mathcal F^i \to\mathcal F^i/\mathcal F^{i-1}. Soient alors p\in \mathcal S_\mathcal F^i et q\in \mathcal S_\mathcal F^j. Pour définir le produit pq et le crochet de Lie \{p,q\}, on choisit x\in\mathcal F^i et y\in\mathcal F^j relevant p et q, c’est-à-dire tels que

p=\pi_i(x) \quad \& \quad q=\pi_j(y)

et on pose

pq=\pi_{i+j}(xy) \quad \& \quad \{p,q\}=\pi_{i+j-1}([x,y])

Il faut vérifier que ces définitions sont correctes, c’est-à-dire que les valeurs proposées ne dépendent que de p,q et non de leurs relevés, et montrer que les produits ainsi introduits sont l’un associatif et commutatif et l’autre un crochet de Lie agissant par dérivations sur le premier. C’est facile à faire quoiqu’un peu fastidieux. Je vais me contenter de vérifier le premier point et de montrer pourquoi la multiplication associative est commutative.

Si x'\in\mathcal F^i et y'\in\mathcal F^j relèvent p et q, dans cet ordre, alors

x'-x\in\mathcal F^{i-1} \quad \& \quad y'-y\in\mathcal F^{j-1}

de sorte que

x'y'-xy=(x'-x)y'+x(y'-y)\in\mathcal F^{i+j-1}

et, dès lors, \pi_{i+j}(x'y')=\pi_{i+j}(xy). On vérifierait de façon semblable que \pi_{i+j-1}([x',y'])=\pi_{i+j-1}([x,y]).

Le fait que le produit (p,q)\mapsto pq soit commutatif provient de ce que

\forall k,l\in \mathbb Z, \quad [\mathcal F^k,\mathcal F^l]\subset \mathcal F^{k+l-1}

A cause de cela, en effet, xy-yx=[x,y]\in\mathcal F^{i+j-1}, de sorte que \pi_{i+j}(xy)=\pi_{i+j}(yx), soit pq=qp.

L’algèbre de Poisson classique \mathcal S_\mathcal F est appelée la limite semi-classique de l’algèbre de Poisson quantique \mathcal F. Sa base est la même que celle de \mathcal F.

Un exemple

La limite semi-classique de l’algèbre \mathcal D_M des opérateurs différentiels agissant sur les fonctions de classe C^\infty d’une variété différentielle Mvoir ce billet — s’identifie à une sous-algèbre de l’algèbre de Poisson du fibré cotangent de M, muni de sa structure symplectique canonique. Je la noterai \mathcal S_M. L’espace \mathcal S_M^i est formé des fonctions à valeurs réelles et de classe C^\infty sur T^*M dont la restriction à chaque espace cotangent est un polynôme homogène de degré i. On l’appelle aussi l’espace des symboles (principaux) car l’image dans \mathcal S^i_M d’un opérateur différentiel appartenant à \mathcal D_M^i\setminus \mathcal D_M^{i-1} est ce qu’on appelle en analyse, le symbole principal de l’opérateur.

Le terme de degré zéro de la limite semi-classique de \mathcal D_M est sa base C^\infty(M,\mathbb R); celui de degré un est l’algèbre de Lie des champs de vecteurs \mathrm{Vect}(M) de la variété M. En effet,

\mathcal D_M^1/\mathcal D_M^0=\left(\mathrm{Vect}(M)\rtimes_L C^\infty(M,\mathbb R)\right)/C^\infty(M,\mathbb R)=\mathrm{Vect}(M)

L’identification de ces termes à \mathcal S_M^0 et \mathcal S_M^1 est celle-ci. L’isomorphisme C^\infty(M,\mathbb R)\to \mathcal S_M^0 par lequel on identifie ces deux algèbres est l’application f\mapsto f\circ \pi_M, où \pi_M:T^*M\to M est la projection canonique du fibré cotangent sur sa base tandis que celui par lequel on confond \mathrm{Vect}(M) et \mathcal S_M^1 associe à chaque champ de vecteurs X la fonction

\tilde X : \xi\in T^*M\mapsto X_{\pi_M(\xi)}(\xi)\in \mathbb R

L’expression locale de \tilde X est peut-être plus parlante que cette définition. Si, dans une carte de M,

X_x=\sum_{i=1}^mX^i\partial_i \quad \& \quad \xi=\sum_{i=1}^m\xi_idx^i\in T^*_xM

alors

\tilde X(\xi)=\sum_{i=1}^mX^i\xi_i

En particulier, on voit bien, sur cette formule, que \tilde X est un polynôme homogène du premier degré en \xi sur chaque espace cotangent T^*_xM.

A suivre …

😉

__________
(*) Concernant la mécanique semi-classique, je trouve le texte suivant d’Yves Colin de Verdière fort intéressant.
C’est une solide introduction à tout un ensemble de concepts et techniques gravitant autour de la mécanique quantique, assortie d’une superbe bibliographie.
(**) Pour rappel

\forall i,j\in \mathbb Z : \mathcal F^i\mathcal F^j\subset \mathcal F^{i+j} \quad \& \quad [\mathcal F^i,\mathcal F^j]\subset \mathcal F^{i+j-1}

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