Pour les vacances, un petit exercice sur les trapèzes

Le trapèze représenté sur cette figure

est isocèle : les côtés AC et BD ont même longueur. On demande de déterminer le lieu des points M vérifiant

\|MA\|^2+\|MB\|^2=\|MC\|^2+\|MD\|^2

3 réactions sur “Pour les vacances, un petit exercice sur les trapèzes

  1. Bonjour,

    J’obtiens la parallèle aux bases passant par le point d’intersection des médiatrices des côtés obliques.
    🙂

    Pascal

    • Bravo, c’est correct, à ceci près que dans le cas d’un recangle, ces deux médiatrices sont confondues. Mieux vaut parler du centre du cercle circonscrit au trapèze.

      J’ai une preuve en « une ligne » (à peu près) que je donnerai éventuellement plus tard.

  2. Le centre du cercle circonscrit au trapèze appartient au lieu.
    Posons alors

    e(M)=\|MA\|^2+\|MB\|^2-\|MC\|^2-\|MD\|^2

    On a

    e(M)-e(N)=2\overrightarrow{MN}\cdot\left(\underbrace{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}}_{=u}\right)

    Donc, e(M)=e(N) si, et seulement si, \overrightarrow{MN} est perpendiculaire à u. On conclut en notant que ce dernier est lui-même perpendiculaire aux bases.

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