Pour les vacances, un petit exercice sur les trapèzes

Le trapèze représenté sur cette figure

est isocèle : les côtés $AC$ et $BD$ ont même longueur. On demande de déterminer le lieu des points $M$ vérifiant

$\|MA\|^2+\|MB\|^2=\|MC\|^2+\|MD\|^2$

3 réactions sur “Pour les vacances, un petit exercice sur les trapèzes”

Bonjour,

J’obtiens la parallèle aux bases passant par le point d’intersection des médiatrices des côtés obliques.
🙂

Pascal

Réponse

Pierre Lecomte dit :

3 juillet 2012 à 5:12

Bravo, c’est correct, à ceci près que dans le cas d’un recangle, ces deux médiatrices sont confondues. Mieux vaut parler du centre du cercle circonscrit au trapèze.

J’ai une preuve en « une ligne » (à peu près) que je donnerai éventuellement plus tard.

Réponse

Le centre du cercle circonscrit au trapèze appartient au lieu.
Posons alors

$e(M)=\|MA\|^2+\|MB\|^2-\|MC\|^2-\|MD\|^2$

On a

$e(M)-e(N)=2\overrightarrow{MN}\cdot\left(\underbrace{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}}_{=u}\right)$

Donc, $e(M)=e(N)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{MN}$ est perpendiculaire à $u$ . On conclut en notant que ce dernier est lui-même perpendiculaire aux bases.