Sur les dérivations du produit vectoriel

Nous avons constaté dans ce billet dont nous reprenons les notations, que les dérivations du produit vectoriel d’un espace vectoriel réel E de dimension n>2, orienté et muni d’un produit scalaire g sont les endomorphismes g-antisymétriques de E.

Lorsque n vaut trois, (E,\wedge) est une algèbre de Lie simple, isomorphe à so(3). Ses dérivations sont donc toutes intérieures : ce sont les multiplications à gauche

\mathrm{ad}(a):x\mapsto a\wedge x, a\in E.

On notera d’ailleurs que l’expression du fait que les multiplications à gauche sont des dérivations est une reformulation de l’identité de Jacobi.

Nous allons voir comment ceci s’étend aux dimensions plus grandes. Nous caractériserons les dérivations qui sont intérieures en un sens généralisant celui des algèbres de Lie. Chemin faisant, nous retrouverons le fait que le produit vectoriel est une algèbre de Filippov, c’est-à-dire vérifiant une généralisation n-aire de l’identité de Jacobi.

Nous appellerons multiplication à gauche par a_1,\ldots,a_{n-2}\in E l’application

\mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2}) : x\mapsto a_1\wedge\cdots\wedge a_{n-2}\wedge x

C’est une application g-antisymétrique : \mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2})\ \widetilde{   }=-\mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2}).

En effet, pour tous x,y\in E,

g(\mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2})(x),y)=[a_1,\ldots,a_{n-2},x,y]=-[a_1,\ldots,a_{n-2},y,x]=-g(x,\mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2})(y))

En conséquence, \mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2}) est une dérivation du produit vectoriel. Autrement dit, pour tous x_i\in E, 0<i<n,

a_1\wedge\cdots\wedge a_{n-2}\wedge(x_1\wedge\cdots\wedge x_{n-1})=\sum_{i=1}^{n-1}x_1\wedge\cdots\wedge(a_1\wedge\cdots\wedge a_{n-2}\wedge x_i)\wedge\cdots\wedge x_{n-1}

C’est cette identité qui fait de (E,\wedge) une algèbre de Filippov.

Nous allons à présent caractériser les dérivations de (E,\wedge) qui sont des multiplications à gauche.
Pour commencer, observons que

Si \mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2})\neq 0, alors a_1,\ldots,a_{n-2} sont linéairement indépendants et

\ker(\mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2}))=\rangle a_1,\ldots,a_{n-2} \langle

En particulier, le rang de \mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2}) est deux.

Il est clair en effet que les a_i sont linéairement indépendants si \mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2})\neq 0, et qu’ils appartiennent à son noyau. Inversement, si x appartient à ce dernier, alors x,a_1,\ldots,a_{n-2} sont linéairement dépendants, autrement dit x est dans l’enveloppe linéaire des a_i. D’où la propriété.

Réciproquement,

Si A\in\mathcal{L}(E,E) est g-antisymétrique et de rang deux, alors c’est une multiplication à gauche.

Nous allons en effet vérifier que si a_1,\ldots,a_{n-2} est une base du noyau de A, alors A est un multiple non nul de \mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2}), ce qui suffit.

Par antisymétrie, on a, pour tous x,y\in E,

(1) g(A(x),y)=-g(x,A(y))

En prenant x=a_i, cela montre que l’image de A est dans le complément orthogonal de son noyau. En faisant x=y dans (1), on voit aussi que A(y)\perp y.

Notons alors (b_1,b_2) une base orthonormée du complément orthogonal du noyau de A. Il existe des nombres r_i, non nuls, tels que

A(b_1)=r_1b_2\quad\&\quad A(b_2)=r_2b_1

Mais alors, vu (1) de nouveau,

r_1=g(A(b_1),b_2)=-g(b_1,A(b_2))=-r_2

Ainsi, dans la base (a_1,\ldots,a_{n-2},b_1,b_2) de E, A est représenté par un multiple non nul de la matrice diagonale par bloc

\mathrm{diag}(0,\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix})

On peut naturellement tenir le même raisonnement à propos de \mathrm{ad}(a_1,\ldots,a_{n-2}) : la propriété est donc démontrée.

Nous avons au passage redémontré que les dérivations de so(3) sont intérieures. En effet, le rang des applications antisymétriques étant pair, en dimension trois, il est nul ou vaut deux.

😉

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