Une brève à propos des indices musicaux

J’affectionne particulièrement les questions où les produits scalaires d’un espace vectoriel interviennent comme paramètre. Le problème abordé dans ce billet, par ailleurs très modeste, est de cette nature.

Donnons-nous donc un espace vectoriel réel E de dimension finie, disons n. Nous désignerons par E^* l’espace dual de E.

Un produit scalaire g de E met canoniquement en dualité l’espace E et son dual. Plus précisément, l’application

\flat : \mathbf x\in E\mapsto g(\mathbf x,-)\in E^*

est une bijection linéaire. Sa réciproque est notée \sharp : \xi\mapsto \xi^\sharp et est caractérisée par

\forall \xi\in E^*, \forall \mathbf x\in E,\quad \xi(\mathbf x)=g(\xi^\sharp,\mathbf x)

Il est d’usage d’indicer les composantes des éléments de E selon une de ses bases (\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n) à l’aide d’indices en position supérieure : \mathbf x=x^1\mathbf e_1+\cdots+x^n\mathbf e_n et, dans la base duale (\varepsilon^1,\ldots,\varepsilon^n), celles des éléments de E^* à l’aide d’indices en position inférieure : \xi=\xi_1\varepsilon^1+\cdots+\xi_n\varepsilon^n (de sorte que, par exemple, \xi(\mathbf x)=\xi_1x^1+\cdots+\xi_nx^n).

L’application \flat allant de E vers son dual, abaisse donc les indices tandis que \sharp, allant dans l’autre sens, les hausse. C’est pourquoi on a choisi de désigner ces applications à l’aide de symboles empruntés au solfège : le bémol baisse la valeur des notes et le dièse la hausse. Le lecteur qui n’était pas au courant de ce folklore aura probablement été fort intrigué par le titre de ce billet. Je me devais donc d’apporter ces quelques précisions. 😉

Cela étant, venons-en à la modeste question à laquelle ce billet est dédié. Il s’agit tout simplement, étant donné \xi\in E^*, de déterminer l’ensemble \sharp(\xi)\subset E formé des \xi^\sharp obtenus en laissant g décrire l’ensemble des produits scalaires de E. Voici la réponse : pour tout \xi\in E^*, on a

\sharp(\xi)=\begin{cases}\{0\} \  \mbox{si} \ \xi=0\\[1ex]\{\mathbf u\in E|\xi(\mathbf u)>0\}\ \mbox{sinon}\end{cases}

Voici la vérification de cette propriété que je vous propose. Je laisse le cas \xi=0 de côté, naturellement, et suppose donc disposer d’un \xi non nul.

Quel que soit le produit scalaire g de E, on a alors

\xi(\xi^\sharp)=g(\xi^\sharp,\xi^\sharp)=\|\xi^\sharp\|^2>0

En conséquence, \sharp(\xi)\subset \{\mathbf u\in E|\xi(\mathbf u)>0\}.

Pour établir l’inclusion réciproque, considérons un élément \mathbf u de E tel que \xi(\mathbf u)>0. Il existe alors une base (\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n) de E telle que \mathbf e_1=\mathbf u/\xi(\mathbf u) et dont le premier élément de la base duale soit \varepsilon^1=\xi. (Les bases ayant ces propriétés sont exactement celles pour lesquelles \mathbf e_1=\mathbf u/\xi(\mathbf u) et (\mathbf e_2,\ldots,\mathbf e_n) est une base de l’hyperplan \ker \xi comme on le vérifie très facilement.) La forme bilinéaire symétrique

g: (\mathbf x,\mathbf y)\mapsto \frac 1{\xi(\mathbf u)}x^1y^1+\sum\limits_{2\leqslant k\leqslant n}x^ky^k

est un produit scalaire de E(*) car \xi(\mathbf u)>0. De plus, quel que soit \mathbf x\in E, on a

g(\mathbf u,\mathbf x)=g(\xi(\mathbf u)\mathbf e_1,\mathbf x)=x^1=\xi(\mathbf x)

et le tour est joué. 😉

__________
(*) Avec les notations du calcul tensoriel, g s’écrit

\frac 1{\xi(\mathbf u)}\varepsilon^1\otimes\varepsilon^1+\sum\limits_{2\leqslant k\leqslant n}\varepsilon^k\otimes\varepsilon^k

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2 réactions sur “Une brève à propos des indices musicaux

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