C’est dans cet article que se trouve l’origine de ce dont je vais vous entretenir mais il ne faut nullement l’avoir lu pour comprendre le présent billet dont le propos est extrêmement élémentaire.
Dans l’article en question, j’ai associé de façon naturelle deux équations différentielles à chaque matrice de trace nulle
Peut importe ce que sont ces équations, il suffit de savoir que l’on échange ces équations en remplaçant par
C’est en effet à propos de l’application linéaire que je souhaite faire ici quelques observations.
Les déterminants des matrices et
sont égaux. Puisque leurs traces sont nulles, elles ont même polynôme caractéristique : elles doivent être semblables. Et, en effet, comme on le voit tout de suite(*),
Plus généralement
L’ensemble des matrices réelles, carrées et de dimension deux est un espace vectoriel réel de dimension quatre. On le note souvent . Plus précisément, l’application(**)
est une isométrie, étant muni du produit scalaire
et
de son produit scalaire canonique.
Le sous-espace des matrices de trace nulle de est noté
. C’est un hyperplan et son complément orthogonal, qui est donc de dimension un, est la droite vectorielle engendrée par la matrice unité. Comme on le voit immédiatement, celle-ci est en effet orthogonale aux matrices de trace nulle.
Comme on le vérifie très facilement, la similitude de matrice est une isométrie de
; on a vu plus haut qu’elle stabilise
.
Nous allons déterminer ses vecteurs propres, c’est-à-dire chercher les non nuls pour lesquels il existe un nombre réel
vérifiant
.
Il est particulièrement simple de résoudre ce système d’équations homogènes mais je ne vais pas le faire ici. Je vais seulement décrire ses solutions.
On voit qu’il est compatible si, et seulement si, . Autrement dit, les valeurs propres de notre application sont
.
L’espace des solutions du système lorsque est
. Il est de dimension deux et admet la base
. Lorsque
, l’espace des solutions est
. Il est de dimension deux et admet la base
.
Les éléments de ces bases sont deux à deux orthogonaux et leurs longueurs sont toutes égales à . Rangés dans l’ordre où nous les avons rencontrés ils forment une base de
de même orientation que sa base canonique. Dans cette base, notre similitude est représentée par la matrice diagonale
. Son déterminant est donc
.
Les éléments de représentent les endomorphismes de l’espace vectoriel
:
L’interprétation en termes d’applications linéaires des quatre vecteurs propres que nous venons de mettre en évidence est intéressante :
représente l’identité
de
dans lui-même.
représente la volte
; c’est la symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation
.
représente la symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation
; regardée comme une application de l’ensemble des nombres complexes dans lui-même, c’est la conjugaison. Nous la noterons
.
représente la rotation d’angle
; sur
, c’est aussi la multiplication par
et nous la noterons
.
La composée de deux symétries orthogonales est une rotation dont l’angle est le double de l’angle orienté que forment ces droites. Par conséquent, . Mais
et
sont des involutions. Nous avons donc aussi
et
. Voici la table complète des composées de nos quatre applications :
Cette table montre que
est un sous groupe du groupe des isométries de , celui engendré par les réflexions
et
. Celles-ci conservent le carré de sommets
. C’est donc une copie du groupe diédral
qui est le groupe des symétries d’un carré. Notez qu’il n’y a que deux groupes d’ordre huit non abéliens : le groupe diédral
et le groupe des quaternions.
Une autre façon d’identifier notre groupe à est d’utiliser la présentation générale des groupes diédraux décrite dans la référence donnée quelques lignes plus haut. Abstraitement, le groupe
est le groupe de présentation
Cela signifie que est engendré par les éléments
et
et que ceux-ci sont assujettis à vérifier les seules relations
( est le neutre). Les éléments du groupe sont alors
Il est facile de voir à l’aide de la table ci-dessus que l’on peut prendre pour et
respectivement la réflexion
et la rotation
. Par exemple, on a
__________
(*) La matrice est sa propre inverse. Elle représente en effet la volte
de dans la base canonique de ce dernier, volte qui est évidemment une involution.
(**) Nous utiliserons librement cette application pour identifier et
.