Courbure et épaississement

En tondant la pelouse de mon jardin, j’observe un phénomène que je me suis enfin décidé à expliquer mathématiquement. Il s’agit de ceci. Les traces des roues de la tondeuse ont l’aspect de courbes et celles qui voisinent la bordure d’un parterre convexe ont une courbure qui s’atténue à mesure qu’on s’éloigne de la bordure.

C’est une question posée sur M@TH en Ligne à propos des épaissis d’une parabole pleine qui m’a incité à étudier le problème. J’ai parlé pour la première fois dans ce blog du $t$ -épaissis d’une partie $e$ d’un espace euclidien (de dimension finie) $E$ ici. Pour rappel, il s’agit de l’ensemble $e_t$ des points de $e$ qui se trouvent à une distance au plus $t$ de $e$ (on suppose que $t$ est positif ou nul). Vous trouverez dans l’article en question un exemple d’épaissi, celui d’un pentagone d’un pan.

Le rapport avec la tonte de la pelouse est le suivant : j’estime que les traces des roues au voisinage d’un parterre convexe sont assimilables aux frontières d’épaissis du parterre correspondant à des valeurs de $t$ qui sont des multiples de plus en plus grands de la largeur de la tondeuse. Le phénomène observé s’explique alors par le fait qu’en épaississant un convexe d’un plan, on diminue la courbure de sa frontière du moins si celle-ci est assez régulière ce qui est le cas de la frontière du parterre de mon jardin auquel je pense. Je prouverai cela mais, avant, je vais faire quelques petites observations à propos des épaissis. Elles sont sans doute bien connues mais je n’ai pas de références auxquelles vous renvoyer à leur propos.

(a) Pour tout $e\subset E$ et tout $t\geqslant 0$ , le $t$ -épaissi de $e$ est égal à celui de son adhérence.

C’est évident. Notez, au passage, ce qui est clair également, que $e_0$ est l’adhérence de $e$ .

(b) Pour tout $t\geqslant 0$ , $e_t$ est fermé.

En effet, vu (a), nous pouvons supposer que $e$ est fermé. Cela noté, si $x$ adhère à $e_t$ , il est limite d’une suite $x_m$ d’éléments de $e_t$ . Il existe une suite $a_m$ de points de $e$ tels que $d(x_m,e)=d(x_m,a_m)$ . On a

(1) $d(x,a_m)\leqslant d(x,x_m)+d(x_m,a_m)\leqslant d(x,x_m)+t$

En particulier, la suite $m\mapsto a_m$ est bornée. Quitte à la remplacer par une sous-suite, on peut donc supposer qu’elle converge vers un point $a\in e$ . En passant à la limite dans (1), il vient alors $d(x,a)\leqslant t$ . Ainsi, $x$ appartient à $e_t$ et (b) est prouvé.

Soient $a,b\in e_t$ . Comme on peut supposer $e$ fermé, il existe $c,d\in e$ tels que $d(a,c)=d(a,e)\leqslant t$ et $d(b,d)=d(b,e)\leqslant t$ . D’après le lemme qui suit, les points du segment $[a,b]$ sont donc distants de moins de $t$ du segment $[c,d]$ . Celui-ci est inclus à $e$ puisque ce dernier est convexe. Par conséquent, $[a,b]\subset e_t$ : (c) est établi.

(d) Lemme : Soient des points $a,b,c,d$ de $E$ et $x\in [a,b]$ . On a

$d(x,[c,d])\leqslant \sup\{d(a,c),d(b,d)\}$

Pour vérifier cela, il suffit de donner un point $y\in [c,d]$ tel que $d(x,y)\leqslant \sup\{d(a,c),d(b,d)\}$ . Le point $x$ est de la forme $(\frac 1 2-u)a+(\frac 1 2+u)b$ , où $|u|\leqslant\frac 1 2$ , et on voit facilement que le point $y=(\frac 1 2-u)c+(\frac 1 2+u)d$ a cette propriété(*). D’où le lemme.

(e) Si $e$ est convexe et $t>0$ , alors la frontière $(e_t)^\bullet$ de $e_t$ est $\{x\in E|d(x,e)=t\}$ .

Pour vérifier cela, nous supposons à nouveau que $e$ est fermé, ce qui n’est pas une restriction. Soit alors un point frontière $x$ de $e_t$ . Il existe un point $a$ de $e$ tel que $d(x,e)=d(x,a)$ . Le point $x$ est limite d’une suite $m\mapsto x_m$ de points n’appartenant pas à $e_t$ . On a donc $d(x_m,a)>t$ pour tout $m\in \mathbf N$ . En passant à la limite, nous voyons que $d(x,a)\geqslant t$ . Mais, vu (b), $x\in e_t$ et $d(x,a)\leqslant t$ . Au total $d(x,e)=t$ .

Nous venons de montrer que $(e_t)^\bullet\subset \{x\in E|d(x,e)=t\}$ . Nous l’avons fait sans utiliser la convexité de $e$ mais nous aurons besoin de cette hypothèse pour établir l’inclusion réciproque. Il y a en effet des ensembles non convexes pour lesquels cette inclusion est fausse. Par exemple, le $t$ -épaissi d’un cercle de rayon $t$ est le disque de même centre et de rayon $2t$ . Le centre du cercle est à distance $t$ de celui-ci mais n’est donc pas un point frontière de son $t$ -épaissi.

Allons-y! Soit un point $x$ de $E$ à distance $t$ de $e$ . Il n’appartient pas à $e$ car $t>0$ . Notons $a$ sa projection orthogonale sur $e$ . C’est l’unique point de $e$ qui réalise la distance de $x$ à $e$ . Il est caractérisé par le fait que les angles non orientés entre $\overrightarrow{ax}$ et $\overrightarrow{ay}$ , $y\in e$ , valent au moins $\pi/2$ . En particulier, il est aussi la projection orthogonale de tous les points de la demi-droite $\{a+u\ \overrightarrow{ax}| u>0\}$ . Les points

$y_m=a+\left(1+\frac 1 m\right)\overrightarrow{ax}, m\in \mathbf N\setminus\{0\}$

sont donc à distance $\left(1+\frac 1 m\right)t>t$ de $e$ . Ils n’appartiennent aucun à $e_t$ mais ils convergent vers $x$ . Celui-ci est donc un point frontière de $e_t$ . D’où (e).

(f) Pour tous $s,t>0$ , on a $(e_s)_t=e_{s+t}$ .

C’est à peu près évident. Nous supposons à nouveau que $e$ est fermé. Soient alors $x\in (e_s)_t$ , un point $y$ de $e_s$ tel que $d(x,y)=d(x,e_s)$ et un point $z$ de $e$ tel que $d(y,z)=d(y,e)$ . Il vient

$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)\leqslant t+s$

Ainsi, $x\in e_{s+t}$ et $(e_s)_t\subset e_{s+t}$ . Inversement, supposons que $x\in e_{s+t}$ et notons $a$ un point de $e$ tel que $d:=d(x,a)=d(x,e)$ . Si $d\leqslant s$ , alors $x$ appartient à $e_s$ , donc à $(e_s)_t$ . Si $d>s$ , posons

$y=a+\frac s d\overrightarrow{ax}$

C’est un point de $e_s$ . De plus, $d(x,y)=d-s\leqslant t$ . Par conséquent, $x\in(e_s)_t$ et (f) est prouvé.

Pour des raisons de taille, je termine ici ce billet. Je présenterai ce que je voulais vous dire à propos de la courbure de la frontière des épaissis d’un convexe dans un billet ultérieur.

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(*) Par exemple, on note que

$\begin{array}{rcl}d(x,y)^2&=&\left(\frac 1 2-u\right)^2d(a,c)^2+2\left(\frac 1 4-u^2\right)d(a,c)d(b,d)\cos\theta+\left(\frac 1 2+u\right)^2d(b,d)^2\\[1ex]&\leqslant&[2u^2(1-\cos\theta)+\frac 1 2(1+\cos\theta)]\sup\{d(a,c),d(b,d)\}\end{array}$

où $\theta$ est l’angle non orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{ac}$ et $\overrightarrow{bd}$ (on pose $\theta=\pi/2$ si l’un des deux est nul). La majoration s’obtient en remplaçant $d(a,c)$ et $d(b,d)$ par le plus grand des deux. Pour conclure, on observe que la quantité entre crochets ne dépasse pas $1$ puisque $|u|^2\leqslant \frac 1 4$ .