En guise d’exercice : trouver la bonne combinaison …

J’ai obtenu par hasard la formule suivante que je vous propose de démontrer pour vous divertir. Elle est tombée comme un fruit mûr lorsque je faisais certains calculs qui ne la concernaient pas. Elle est peut-être facile à prouver directement. Je n’en sais rien, je n’ai pas vraiment essayé de le faire. La voici

$\sum_{l=0}^k{n+l \choose n}={n+1+k \choose n+1}$

Les nombres $k$ et $n$ sont des entiers positifs ou nuls.

Bon amusement! 😉

4 réactions sur “En guise d’exercice : trouver la bonne combinaison …”

C’est une somme télescopique grâce à la formule d’addition. Sinon, on peut aussi compter le nombre de parties à $n+1$ éléments de l’ensemble $[1,n+k+1]$ en distinguant ces parties suivant la valeur de leur maximum (un entier de la forme $n+\ell+1$ avec $\ell$ entre $0$ et $k$ )

Réponse

Pierre Lecomte dit :

29 novembre 2017 à 10:40

Merci JeanN mais je ne comprends pas immédiatement. Pourriez vous expliciter? D’avance merci!

Réponse
- JeanN dit :
  
  29 novembre 2017 à 11:27
  
  On fixe $\ell$ entre $0$ et $k$
  On cherche à compter le nombre de parties de $[1,n+k+1]$ à $n+1$ éléments dont le maximum est $n+\ell+1$ .
  Pour construire une telle partie, il suffit de choisir $n$ éléments entre $1$ et $n+\ell$ donc $n$ parmi $n+\ell$ possibilités.
  Lorsque $\ell$ décrit $[0,k]$ , on compte sans redondance toutes les parties de $[1,n+k+1]$ à $n+1$ éléments (et il y en a $n+1$ parmi $n+k+1$ )
  D’où le résultat par unicité du cardinal.