A propos des empilements infinis de radicaux III

Je présente dans ce billet ce que je sais de la fonction e_{a,b} introduite dans le billet précédent pour étudier les empilements infinis de radicaux. J’utiliserai ici librement les notations de ce billet. Pour rappel, les suites a et b sont désormais à valeurs strictement positives.

Préambule

Avant d’entrer dans le vif du sujet, je voudrais introduire une famille de fonctions bien utiles. Il s’agit de la suite de fonctions \xi_n :[0,+\infty[ \to [0,+\infty[ définie par récurrence par

\begin{cases}\xi_0(x)=x\\[1ex]\xi_{n+1}(x)=\xi_n(\sqrt{a_n+b_nx})\end{cases}

Voici les valeurs des premiers \xi_n :

\xi_0(x)=x, \quad \xi_1(x)=\sqrt{a_0+b_0x}, \quad \xi_2(x)=\sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1x}}, \quad \ldots

Bien que, pour ne pas alourdir l’écriture, le nom de ces fonctions ne fasse pas explicitement référence aux suites a et b, elles en dépendent bel et bien. Nous aurons besoin des fonctions relatives aux suites décalées k fois \sigma^k(a) et \sigma^k(b). Nous conviendrons de les désigner par \xi_n^{\sigma^k}. Par exemple,

\xi_2^{\sigma^3}(x)=\sqrt{a_3+b_3\sqrt{a_4+b_4x}}

Voici une propriété que nous utiliserons plus bas.

(1) \boxed{\forall n\in\mathbf N, \quad \xi_{n+1}(x)=\sqrt{a_0+b_0\xi_n^\sigma(x)}}

Elle se démontre par récurrence. Je fais l’induction, le cas de base étant immédiat. En supposant la propriété vraie pour une certaine valeur p de n, il vient

\begin{array}{rcl}\xi_{p+2}(x)&=&\xi_{p+1}(\sqrt{a_{p+1}+b_{p+1}x})\\[1ex]&=&\sqrt{a_0+b_0\xi_p^\sigma(\sqrt{a_{p+1}+b_{p+1}x})}\\[1ex]&=&\sqrt{a_0+b_0\xi_{p+1}^\sigma(x)}\end{array}

Notons au passage une autre propriété où la notation \xi_n^{\sigma^k} s’avère bien utile. Elle nous donne les dérivées des \xi_n et nous montre, si besoin en était, que les fonctions \xi_n sont strictement croissantes.

\boxed{\forall n>0, \quad \xi_n'=\frac{b_0\cdots b_{n-1}}{2^n\xi_n\xi_{n-1}^\sigma\cdots\xi_1^{\sigma^{n-1}}}}

Elle se démontre facilement par récurrence mais je ne le fais pas ici.

Un des intérêts des fonctions \xi_n réside en ceci : si la suite c est à valeurs positives ou nulles, alors

(2) \boxed{\forall n\in\mathbf N,\quad u_n(c)=\xi_n(c_n)}

Un théorème

Voici le résultat principal de ce billet. J’ai rappelé plus haut que les suites a et b sont à valeurs strictement positives mais je le répète dans l’énoncé pour bien mettre en évidence ses hypothèses.

Si les suites a et b sont à valeurs strictement positives, alors

1) \mathbf 0\in \mathscr{D}_{a,b}

2) La limite \gamma_0 de u(\mathbf 0) est un nombre réel, si, et seulement si, il existe une suite c\in \mathscr{D}_{a,b} telle que u(c) soit constant.

3) Si \gamma_0 est un nombre réel et si \gamma\geqslant \gamma_0, alors il existe une seule suite c\in \mathscr{D}_{a,b} telle que les u_n(c) valent tous \gamma.

Voici ce que je vous propose en guise de preuve.

Considérons une suite c:\mathbf N\to [0,+\infty[ et demandons-nous à quelles conditions u(c) est constant. Vu (2), u_{n+1}(c)=u_{n}(c) si, et seulement si,

\xi_{n+1}(c_{n+1})=\xi_n(\sqrt{a_n+b_nc_{n+1}})=\xi_n(c_n)

Mais \xi_n est injectif. Cela équivaut donc à \sqrt{a_n+b_nc_{n+1}}=c_n et finalement à, puisque c_n\geqslant 0,

c_{n+1}=\cfrac{c_n^2-a_n}{b_n}

La suite c est donc complètement déterminée par sa première valeur c_0.

J’affirme alors que, étant donné \gamma\geqslant 0, la suite c définie par récurrence par

(3) \begin{cases}c_0=\gamma\\[3ex] c_{n+1}=\cfrac{c_n^2-a_n}{b_n}\end{cases}

est à valeurs positives ou nulles si, et seulement si,

(4) \forall n\in\mathbf N,\quad \gamma\geqslant u_n(\mathbf 0)

Montrons d’abord que si (4) est vérifié alors les valeurs de c ne sont pas négatives.
Nous allons voir, plus précisément, que si \gamma\geqslant u_n(\mathbf 0), alors c_0,\ldots,c_n\geqslant 0, ce qui suffit.

Partons de

c_0=\gamma\geqslant u_n(\mathbf 0)=\xi_n(0)

Vu (1), que nous allons utiliser de façon répétée, on a donc c_0\geqslant\sqrt{a_0+b_0\xi_{n-1}^\sigma(0)}. Par conséquent,

c_1=\cfrac{c_0^2-a_0}{b_0}\geqslant\xi_{n-1}^\sigma(0)=\sqrt{a_1+b_1\xi_{n-2}^{\sigma^2}(0)}

Du coup,

c_2=\cfrac{c_1^2-a_1}{b_1}\geqslant\xi_{n-2}^{\sigma^2}(0)=\sqrt{a_2+b_2\xi_{n-3}^{\sigma^3}(0)}

De proche en proche, on vérifie ainsi que c_k\geqslant\xi_{n-k}^{\sigma^k}(0)\geqslant 0 pour k=0,\ldots, n, ce que nous voulions établir.

La réciproque, à savoir c_0,\ldots,c_n\geqslant 0 entraîne \gamma\geqslant u_n(\mathbf 0), est très simple : si c_n\geqslant 0, alors

u_n(\mathbf 0)=\xi_n(0)\leqslant \xi_n(c_n)=u_n(c)=\gamma

En conclusion, c est à valeurs postives ou nulles et u(c) est constant si, et seulement si, (3) et (4) sont vrais. Par conséquent :

–– si u(\mathbf 0) converge vers un nombre réel \gamma_0, alors (4) est vérifié par \gamma=\gamma_0 car la suite u(\mathbf 0) est strictement croissante vu que

u_{n+1}(0)=\xi_{n+1}(0)=\xi_n(\sqrt{a_n})>\xi_n(0)=u_n(\mathbf 0)

La suite c définie par (3) avec \gamma=\gamma_0 est donc à valeurs positives ou nulles et la suite u(c) est constante.

–– inversement, s’il existe une suite c à valeurs positives ou nulles telle que u(c) soit constant, alors (4) est vérifié avec \gamma=c_0=u_0(c). Par conséquent, u(\mathbf 0) converge vers un nombre réel \gamma_0 ne dépassant pas \gamma.

Nous venons de prouver (2) et (3). Il nous reste à prouver (1).

Supposons donc que u(\mathbf 0) ne converge pas vers un nombre réel et montrons par l’absurde qu’il tend vers \infty. Comme cette suite est croissante, elle n’est pas bornée. Supposons alors qu’elle ne tende pas vers \infty. Il existe donc un nombre K qui majore tous les termes d’une de ses sous-suites, que nous noterons u'. Comme u(\mathbf 0) n’est pas borné, il existe un entier n tel que K<u_n(\mathbf 0). D'où une contradiction car pour m assez grand, u_n(\mathbf 0)<u'_m\leqslant K.

Voilà, le théorème est prouvé!

Ce théorème me semble fournir des arguments sérieux en faveur de la définition de l'empilement e(a,b) que nous avons adoptée dans le billet précédent, du moins pour des suites à valeurs strictement positives — le cas que nous considérons ici, à savoir poser

\sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1\sqrt{a_2+b_2\sqrt{\cdots}}}}=\lim u(\mathbf 0)

sous réserve que cette limite existe.

D’abord, le point 1) du résultat nous montre que cette limite existe toujours. Elle peut certes valoir \infty alors qu’on espérerait que e(a,b) soit un nombre réel mais cela ne me semble pas rédhibitoire.

Ensuite, les points 2) et 3) montrent que si cette limite est un nombre réel \gamma_0, pour chaque \gamma\geqslant \gamma_0, il y a une suite d’approximations qui converge syntaxiquement vers l’expression e(a,b) mais dont les évaluations sont égales à \gamma. Le nombre \gamma_0 est le plus petit possible ayant cette propriété et correspond à une suite d’évaluation syntaxiques

\sqrt{a_0},\quad \sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1}}, \sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1\sqrt{a_2}}}, \quad \ldots

raisonnables dont nous avons parlé dans le billet précédent. En raison de cela, s’il faut vraiment élire un de ces nombres \gamma au titre de valeur de e(a,b), alors il me semble plus que normal de choisir \gamma_0.

Cet argument est renforcé par l’observation suivante. En notant c^\gamma la suite définie par la récurrence (3) et \mathbf r la suite constante n\mapsto r, on a

Si \lim u(\mathbf 0) est un nombre réel \gamma_0 et si c^{\gamma_0} converge vers \infty, alors pour tout nombre réel positif r, \lim u(\mathbf r)=\gamma_0.

Sous les hypothèses de cette observation, on a en particulier e(a,b)=\lim u(\mathbf 1), ce qui correspond à l’autre suite d’approximations syntaxiques raisonnables rencontrée dans le billet précédent

\sqrt{a_0+b_0}, \quad \sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1}}, \quad \sqrt{a_0+b_0\sqrt{a_1+b_1\sqrt{a_2+b_2}}}, \quad \ldots

(C’est celle qu’on obtient en posant e(\varepsilon,\varepsilon)=1.)

Voici comment justifier l’observation. Supposons que c^{\gamma_0} converge vers \infty. Alors il existe un seuil à partir duquel r\leqslant c_n^{\gamma_0}. Au-delà de ce seuil, on a donc

u_n(\mathbf 0)=\xi_n(0)\leqslant \xi_n(r)=u_n(\mathbf r)\leqslant \xi_n(c_n^{\gamma_0})= \gamma_0

D’où la conclusion, par passage à la limite.

L’observation s’applique par exemple à l’empilement

\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots}}}}

dont j’ai parlé à plusieurs reprises. Pour celui-ci, en effet, \gamma_0=3 et c^{\gamma_0} : n \mapsto n+3.

Cela dit, j’ai le sentiment qu’il existe un résultat plus fort que cette observation et que bien d’autres suites c que celles de la forme \mathbf r permettent de calculer l’empilement e(a,b). De nombreuses expérimentations informatiques m’en ont convaincu. Mais, pour l’heure, je n’ai encore rien trouvé de significatif.

Un exemple simple et amusant

Nous allons appliquer ce qui précède à l’empilement

\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{\cdots}}}}

Il est défini par les suites constantes a=\mathbf p et b=\mathbf q. Nous supposons bien entendu que p et q sont strictement positifs.

Nous allons voir que \lim_{n\to \infty}u_n(\mathbf 0) est la racine positive de l’équation t^2-qt-p=0, c’est-à-dire que

(5) \boxed{\lim_{n\to \infty}\underbrace{\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{\cdots + q\sqrt{p}}}}}_{n \mbox{\ lettres\ }p}=\cfrac{q+\sqrt{q^2+4p}}{2}}

Voici comment. Appelons \gamma cette racine. Il est facile de vérifier que la suite c^\gamma définie par (3) est la suite constante n\mapsto\gamma. Ses valeurs sont donc positives. D’après le théorème, u(\mathbf 0) converge vers un nombre réel \gamma_0\geqslant 0. On a alors, vu (1),

u_{n+1}(\mathbf 0)=\xi_{n+1}(0)=\sqrt{p+q\xi_n^\sigma(0)}

Mais, puisque les suites a et b sont constantes, \xi_n^\sigma=\xi_n. Donc

u_{n+1}(\mathbf 0)=\sqrt{p+qu_n(\mathbf 0)}

En passant à la limite, il vient \gamma_0=\sqrt{p+q\gamma_0}. Ainsi, \gamma_0=\gamma, ce qui achève notre calcul.

Avec notre définition, nous sommes ainsi conduits à écrire

\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{p+q\sqrt{\cdots}}}}=\cfrac{q+\sqrt{q^2+4p}}{2}

Lorsque p=q=1, la limite (5) est le nombre d’or. Lorsque p=2 et q=1, elle vaut 2. Cela nous le savions bien, sans peut-être en avoir pleinement pris conscience. En effet, j’ai signalé dans le billet précédent que

\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots + \sqrt{2}}}}}_{n \mbox{\ chiffres\ }2}=2\cos\cfrac{\pi}{2^{n+1}}

😉

3 réflexions sur “A propos des empilements infinis de radicaux III

    • L’exemple final se généralise à des suites a et b périodiques de même période, \ell. Il correspond à \ell=1.
      Mais le problème se complique très fort lorsque \ell>1 car l’équation satisfaite par la valeur de l’empilement est de degré 2^\ell.

  1. Pingback: A propos des empilement infinis de radiaux V | Blog de Pierre Lecomte

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