La droite projective réelle — Equations différentielles ou les avatars d’un champ de vecteurs

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En géométrie différentielle, la contrepartie de la notion de système d’équations différentielles autonomes :

(1) \left\{\begin{array}{ccc}\dot{x}^1&=&f^1(x^1,\ldots,x^n)\\ &\vdots &\\ \dot{x}^n&=&f^n(x^1,\ldots,x^n)\end{array}\right.

est celle de champ de vecteurs : si les seconds membres du système (1) sont les composantes de l’expression locale d’un champ de vecteurs dans une carte d’une variété, alors une solution de (1) est l’expression locale dans cette carte d’une courbe intégrale de ce champ (c’est-à-dire une courbe le long de laquelle le champ coïncide avec son vecteur tangent).

Les équations (1) ne constituent qu’une description locale du champ de vecteurs et les propriétés de leurs solutions dépendent en partie de la carte choisie; elle peuvent être assez différentes d’une carte à l’autre et ne pas refléter pleinement celles des courbes intégrales maximales du champ. Par exemple sur une variété compacte, les courbes intégrales maximales des champs de vecteurs sont définies sur \mathbb R tout entier ce qui n’est pas nécessairement le cas des solutions maximales des systèmes d’équations qui les représentent dans les cartes de la variété.

Je vais illustrer ce phénomène à propos des équations de Riccati à coefficients constants

\dot x= ax^2+bx+c \quad (a,b,c\in\mathbb R)

en montrant qu’elles sont les expressions locales d’une famille de champs de vecteurs de la droite projective réelle. Dans la foulée, nous obtiendrons ainsi aisément les solutions de ces équations. Nous utiliserons les notations introduites dans ce billet.

Les champs H^* de la droite projective réelle

Le groupe SL(2,\mathbb R) des matrices carrées réelles de dimension 2 et de déterminant 1 opère à gauche de façon naturelle sur \mathbb R^2 privé de l’origine par (A,\xi)\mapsto A\xi. Cette action se projette via \pi en une action différentiable sur la droite projective réelle. Nous la noterons (A,\mathcal D)\mapsto A\cdot\mathcal D.

Considérons un élément H de l’algèbre de Lie sl(2,\mathbb R) du groupe.

Le champ fondamental qui lui est associé par la première action est le champ de vecteurs défini par

\overline H_\mathcal \xi=\frac{d}{dt}\exp(tH)\cdot \xi_{|t=0}

et son flot est l’application

(t,\xi)\in\mathbb R\times \mathbb R^2\setminus\{0\}\mapsto \exp(tH)\xi\in\mathbb R^2\setminus\{0\}

Il est \pi-lié au champ fondamental associé à H par la seconde action dont le flot est dès lors

(t,\mathcal D)\in\mathbb R\times P^1\mathbb R\mapsto \exp(tH)\cdot\mathcal D\in P^1\mathbb R

Nous noterons H^* ce champ de vecteurs.

Expression locale de H^* dans les cartes canoniques

Commençons par exprimer localement l’action d’une matrice

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb R)

dans la carte (U_1,\varphi_1). Si la droite \mathcal D\in U_1 admet le vecteur directeur \xi=(\xi_1,\xi_2), alors

(a\xi_1+b\xi_2,c\xi_1+d\xi_2)

est un vecteur directeur de A\cdot \mathcal D. Pour autant que cette dernière appartienne aussi à U_1(*), il vient ainsi

\varphi_1(A\cdot\mathcal D)=\frac{c\xi_1+d\xi_2}{a\xi_1+b\xi_2}

L’expression locale de l’action de A dans la carte (U_1,\varphi_1) est donc l’application homographique(**)

h_A: x\mapsto \frac{c+dx}{a+bx}

Soit à présent H\in sl(2,\mathbb R). Prenons pour A la matrice \exp(tH). L’expression locale de H^* dans la carte (U_1,\varphi_1) n’a qu’une composante. C’est la fonction

f_1: x\mapsto \frac{d}{dt}h_A(x)_{|t=0}

Compte tenu des propriétés de l’application exponentielle, elle est facile à calculer. Pour(***)

H=\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}

on trouve

f_1(x)=-qx^2-2px+r

Semblablement, l’expression locale de H^* dans la seconde carte canonique a pour composante(****)

f_2(x)=-rx^2+2px+q

En choisissant convenablement H, on peut donner des valeurs arbitraires aux coefficients de f_1. Idem pour f_2. Ainsi,

Les équations différentielles représentants les champs de vecteurs H^* dans les cartes canoniques sont les équations de Riccati à coefficients constants.

Solutions des équations de Riccati à coefficients constants

Les expressions locales des courbes intégrales de H^* décrivent les solutions des équations qui lui sont associées dans les deux cartes. Par exemple, la solution de l’équation \dot x = -qx^2-2px+r passant par \varphi_1(\mathcal D) en t=s est l’application

t\mapsto \varphi_1(\exp((t-s)H)\cdot\mathcal D)

restreinte à la composante connexe de s dans l’ensemble des t tels que \exp((t-s)H)\cdot\mathcal D\in U_1. Le fait que ce ne soit éventuellement pas \mathbb R tout entier est donc lié à la possibilité pour les courbes intégrales maximales de H passant par les points de U_1 de sortir de celui-ci et non au fait que ces courbes ne seraient pas partout définies . Pour résoudre effectivement l’équation considérée, il suffit donc de calculer l’exponentielle de la matrice H, ce qui est trivial, et de déterminer la composante connexe en question.

Considérons par exemple l’équation

(2) \dot x= x^2

Elle est l’expression locale dans la première carte canonique du champ fondamental de la matrice

H=\begin{pmatrix}0&-1\\ 0&0\end{pmatrix}

On a

\exp((t-s)H)=\begin{pmatrix}1&s-t\\ 0&1\end{pmatrix}

Donc, en notant x la coordonnée locale de \mathcal D, en dehors du cas trivial où x=0, la solution maximale de (2) passant par x en t=s est la fonction

t\mapsto \frac{x}{1+(s-t)x}

restreinte à celui des intervalles ]-\infty, s+1/x[, ]s+1/x,+\infty[ qui contient s.

L’équation différentielle associée à H^* dans la seconde carte canonique est \dot x =-1. Par contraste, ses solutions sont définies sur \mathbb R tout entier. (Au passage, on notera que nous sommes en présence d’un bel exemple de champ de vecteurs redressé, i.e. auquel on a donné une expression locale constante dans une carte appropriée.)

On voit bien que les singularités des solutions de (2) sont des artéfacts créés par le passage en coordonnées locales, chose qu’on ne soupçonne pas lorsqu’on rencontre ce genre d’équations en première année à l’université, faute de disposer du langage de la géométrie différentielle.

Un exemple amusant pour conclure

Pour rappel, nous avons construit dans le billet mentionné plus haut un difféomorphisme canonique \tau de P^1\mathbb R sur le cercle trigonométrique S^1. Par ailleurs, ce dernier possède un champ de vecteurs distingué \Theta, celui qui au point z=x+iy associe le vecteur tangent iz=-y+ix.
Je vous propose de montrer que

\tau_*H^*=\Theta\circ\tau

où H est la matrice

\frac 1 2 \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

__________
(*) Cela signifie que a\xi_1+b\xi_2\neq 0.
(**) En exprimant qu’on a affaire à une action, on retrouve ainsi une jolie propriété des fonctions homographiques :

h_A\circ h_B=h_{AB}

(***) L’algèbre sl(2,\mathbb R) est l’espace des matrices réelles carrées de dimension 2 dont la trace est nulle (muni du commutateur en guise de crochet de Lie).
(****) On peut déduire une expression de l’autre en utilisant la fonction de transition entre les deux cartes. En l’occurrence, on observe que

f_2(x)=-x^2f_1(\frac 1 x)

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