Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation VIII

L’étude des symétries des solutions de la modeste équation nous a fourni, dans le premier et le quatrième billet de la série qui lui est consacrée, deux réalisations du groupe \mathfrak S_3 des permutations de trois objets. Ses généralisations à un nombre arbitraire d’inconnues et à une infinité d’inconnues produisent semblablement des réalisations de groupes. A partir de quatre inconnues, il ne s’agit plus de groupes de permutations mais bien des groupes diédraux D_n, n\geqslant 4, et D_\infty. La jonction avec le cas de trois inconnues se fait en notant que \mathfrak S_3 et D_3 sont isomorphes(*) si bien qu’au total, les groupes réalisés au moyen de la modeste équation et de ses généralisations sont exactement les groupes diédraux.

Je vais utiliser ici les résultats de cet article dont j’adopte les notations. Afin de simplifier la présentation des choses, nous désignerons par (\mathcal A,P_0) la solution \mathbf x : i\in\mathbf Z\mapsto x_i\in\mathbf R de l’équation

(1) \cdots=x_{-1}+\frac{1}{x_0}=x_0+\frac{1}{x_1}=\cdots =x_k+\frac{1}{x_{k+1}}=\cdots

qu’on y construit au moyen d’une ligne polygonale affine régulière \mathcal A et d’un point P_0. Pour rappel, pour que ces données conduisent à une solution, il faut, et il suffit, que P_0\neq A_0 et que la droite A_0P_0 ne soit parallèle à aucun côté de \mathcal A.

Un premier générateur

Soit donc une solution \mathbf x=(\mathcal A,P_0) de (1). La droite A_1P_1, image de A_0P_0 par l’affinité \mathcal T associée à \mathcal A, n’est parallèle à aucun côté de \mathcal A. Il en va donc de même de la droite passant par A_0 et

Q_0=A_0+\overrightarrow{A_1P_1}\neq A_0.

Nous obtenons ainsi une solution de (1), à savoir \mathbf y=(\mathcal A,Q_0). Comme on le voit aisément,

\forall i\in\mathbf Z,\quad y_i=x_{i+1}

En général, pour toute suite \mathbf u : i\in\mathbf Z\mapsto u_i\in\mathbf R nous noterons \alpha(\mathbf u) la suite i\mapsto u_{i+1}.

Le second générateur

Soit encore une solution \mathbf x=(\mathcal A,P_0) de (1). L’idée, pour produire une nouvelle solution de (1), consiste à présent à changer l’orientation de \mathcal A, ce qui remplace \mathcal T par sa réciproque. Pour simplifier les calculs, il est utile d’en changer également l’origine. La nouvelle ligne polygonale affine régulière est notée \mathcal B et est définie par

\forall i\in\mathbf Z,\quad B_i=A_{2-i}

La droite A_0P_0 n’est parallèle à aucun côté de \mathcal B. Le point

R_0=B_0+\overrightarrow{A_0P_0}

est donc tel que B_0R_0 ne soit parallèle à aucun côté de \mathcal B non plus. Comme il est distinct de B_0, nous obtenons une solution \mathbf z=(\mathcal B,R_0) de (1).

Il est facile de voir que si (u,v) sont les composantes d’un élément de \overrightarrow{\mathcal E} dans la base du repère R_\mathcal A associé à \mathcal A pour construire \mathbf x, alors ses composantes dans la base du repère R_\mathcal B sont (-v,-u). Il en résulte que

\forall i\in\mathbf Z,\quad z_i=\frac{1}{x_{-i}}

Nous sommes ainsi amenés à introduire la fonction \beta qui, à toute suite \mathbf u : i\in\mathbf Z\mapsto u_i\in\mathbf R\setminus\{0\}, associe la suite i\mapsto \frac{1}{u_{-i}}.

Une réalisation de D_\infty

La restriction de \alpha à l’ensemble de suites \mathcal U:=(\mathbf R\setminus\{0\})^\mathbf Z — je la noterai aussi \alpha — et \beta engendrent un sous-groupe, disons G pour les besoins de l’exposé, du groupe des bijections de \mathcal U. Il est isomorphe à D_\infty. En effet, on voit — le calcul est direct — que \beta\circ\beta est l’identité et que \beta\circ\alpha\circ\beta^{-1}=\alpha^{-1}. Dès lors(**)

G=\{\alpha^{\circ i}|i\in\mathbf Z\}\cup\{\alpha^{\circ i}\circ\beta|i\in\mathbf Z\}

On vérifie ensuite, « à la main », que les éléments \alpha^{\circ i}, \alpha^{\circ i}\circ\beta, i\in \mathbf Z, sont tous différents. Cela étant, D_\infty admet la présentation \langle x,y|y^2,yxy^{-1}x\rangle. On déduit aisément de ce qui précède que l’application \Phi : D_\infty\to G définie par \Phi(x^i)=\alpha^{\circ i}, \Phi(x^iy)=\alpha^{\circ i}\circ\beta est un isomorphisme de groupes.

Solutions associées à un nombre donné

Considérons un nombre réel \lambda. Les applications \alpha,\beta stabilisent évidement l’ensemble \mathcal S_\lambda des solutions \mathbf x de (1) pour lesquelles x_0+\frac{1}{x_1}=\lambda. Comme nous allons le voir, elles induisent alors des bijections de l’ensemble des valeurs de ces solutions qui génèrent des copies des groupes diédraux.

Notons \xi_\lambda l’homographie x\mapsto \frac{1}{\lambda-x}. Elle est associée à la matrice \begin{pmatrix}0&1\\-1&\lambda\end{pmatrix}. Avec les résultats de ce billet relatifs aux puissances de celle-ci, dont on utilise aussi les notations, on voit que

\mbox{dom\ }\xi_\lambda^{\circ i}=\begin{cases}\mathbf R \mbox{\ si\ } c_i=0\\[1ex]\mathbf R\setminus\{\frac{c_{i+1}}{c_i}\}\mbox{ sinon}\end{cases}

Le lecteur curieux démontrera sans peine le lemme suivant

Pour tous p,q\in\mathbf Z, on a \quad \mbox{dom\ }\left(\xi_\lambda^{\circ p}\circ \xi_\lambda^{\circ q}\right)\subset\mbox{dom\ }\xi_\lambda^{\circ(p+q)}. De plus, si x\in \mbox{dom\ }\left(\xi_\lambda^{\circ p}\circ \xi_\lambda^{\circ q}\right), alors

\xi_\lambda^{\circ p}(\xi_\lambda^{\circ q}(x))=\xi_\lambda^{\circ (p+q)}(x)

Notons alors I_\lambda l’intersection des domaines de définitions des applications \xi_\lambda^{\circ i} privée de 0. On a donc

I_\lambda=\mathbf R\setminus\left(e_{1-\lambda}\cup\{0\}\right )

e_{1-\lambda} est l’ensemble des zéros des dénominateurs des homographies \xi_\lambda^{\circ i}. Voici un second lemme utile, également facile à établir.

Pour tout x\in I_\lambda et tout i\in\mathbf Z, on a \xi_\lambda(x)\in I_\lambda et \xi_\lambda(\xi_\lambda^{\circ i}(x))=\xi_\lambda^{\circ (i+1)}(x).

Nous pouvons à présent apporter quelques précisions sur \mathcal S_\lambda dont nous aurons besoin pour construire nos réalisations des groupes diédraux. On pourrait considérer que l’affirmation suivante est évidente. C’est le cas, jusqu’à un certain point. En réalité, la difficulté provient du fait que les homographies sont des applications partielles et qu’il faut donc prendre des précautions lorsqu’on les compose, ce que je ai peut-être trop éludé jusqu’à présent.

Une suite \mathbf x:i\in\mathbf Z\mapsto x_i\in\mathbf R appartient à \mathcal S_\lambda si, et seulement si x_0\in I_\lambda et x_i=\xi^{\circ i}(x_0) pour tout entier i.

Voici en quelques mots comment vérifier cela. Si \mathbf x\in\mathcal S_\lambda, alors on a x_{i+1}=\xi_\lambda(x_i) pour tout entier i et, grâce au premier lemme, une récurrence facile montre que x_i=\xi^{\circ i}(x_0). En particulier, x_0\in I_\lambda. La réciproque est immédiate, à l’aide du second lemme.

Il résulte de cette propriété que, pour tout x\in I_\lambda, il existe une seule suite \mathbf x\in\mathcal S_\lambda pour laquelle x_0=x.

Réalisations associées à un nombre réel

Remarquons que les valeurs d’une suite \mathbf x\in\mathcal S_\lambda appartiennent toujours à I_\lambda. En effet, c’est vrai de x_0 comme on l’a vu plus haut. Pour les autres valeurs, il suffit alors de noter que x_i=\left(\alpha^{\circ i}(\mathbf x)\right)_0. L’ensemble I_\lambda est donc l’ensemble de toutes les valeurs que prennent les solutions de (1) pour lesquelles x_0+\frac{1}{x_1}=\lambda.

Je dis que \alpha « induit » la bijection \xi_\lambda:I_\lambda\to I_\lambda parce que, pour tout \mathbf x\in\mathcal S_\lambda,

\forall i\in \mathbf Z,\quad \alpha(\mathbf x)_i=\xi_\lambda(x_i)

Dans le même ordre d’idée, \beta induit aussi une bijection de I_\lambda, à savoir

\eta :x\in I_\lambda\mapsto \frac 1 x \in I_\lambda

Le fait que \eta(I_\lambda)\subset I_\lambda est immédiat : si x\in I_\lambda et si \mathbf x\in \mathcal S_\lambda est tel que x_0=x, alors \frac 1 x=\beta(\mathbf x)_0. Notons que, plus généralement, sur \mathcal S_\lambda,

\forall i\in\mathbf Z,\quad \beta(\mathbf x)_i=\eta(\xi_\lambda^{\circ -i}(x_0))

L’application \eta vérifie \eta^{\circ 2}=\mbox{id}_{I_\lambda}, \eta\circ\xi_\lambda\circ\eta^{-1}=\xi_\lambda^{-1}.

Notre objectif est atteint. Vu ce qui précède en effet, il est facile d’établir la proposition suivante.

L’ensemble

\{\xi_\lambda^{\circ i}|i\in\mathbf Z\}\cup\{\xi_\lambda^{\circ i}\circ\eta|i\in\mathbf Z\}

est un sous-groupe du groupe des bijections de I_\lambda. Il est isomorphe à D_n si \lambda est de la forme 2\cos\frac{k\pi}{n}n et k\in\{1,\ldots,n-1\} sont premiers entre eux et à D_\infty dans le cas contraire.

Remarques

a) Lorsque \lambda est de la forme 2\cos\frac{k\pi}{n}n et k\in\{1,\ldots,n-1\} sont premiers entre eux, les éléments \mathbf x de \mathcal S_\lambda sont périodiques de période n et donnent des solutions (x_0,\ldots,x_{n-1}) de l’équation x_0+\frac{1}{x_1}=\cdots=x_{n-1}+\frac{1}{x_0}. En passant à \alpha(\mathbf x) et \beta(\mathbf x), on obtient alors deux autres solutions de celle-ci, à savoir

(x_1,\ldots,x_{n-1},x_0)\quad\&\quad\left(\frac{1}{x_0},\frac{1}{x_{n-1}},\ldots,\frac{1}{x_1}\right)

b) Il est évident que si \mathbf x est une solution de (1), alors \alpha(\mathbf x) et \beta(\mathbf x) en sont aussi. Je trouve cependant très intéressant, et surtout joli, de les faire apparaitre au moyen des lignes polygonales affines régulières qui génèrent géométriquement les solutions de l’équation.

😉

P.S. Un gros bug vient d’être corrigé. P.L. 27/01/2015
__________
(*) Le groupe D_3 admet la présentation \langle x,y|x^3,y^2,yxy^{-1}x\rangle et dans le premier article de la série, nous avons obtenu la présentation \langle x,y|x^3,y^2,y^{-1}x^{-1}yx\rangle de \mathfrak S_3. Il est facile de montrer que, moyennant x^3=y^2=e, les relations yxy^{-1}x=e et y^{-1}x^{-1}yx=e sont équivalentes, où e désigne le neutre.
(**) Je note souvent f^{\circ n} la composée de n copies de f.

Une réflexion sur “Un joyau : les théorèmes de Ceva et de Menelaus, l’ellipse de Steiner et les permutations se rencontrent chez une modeste équation VIII

  1. Pingback: Lignes polygonales affines régulières III | Blog de Pierre Lecomte

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