Nombres complexes, produits scalaire, mixte et vectoriel : une brève mise au point

La trilogie produit scalaire, produit mixte et produit vectoriel est assez bien connue en dimension trois. Elle l’est moins en d’autres dimensions, et particulièrement en dimension deux. Pourtant, elle est très amusante en dimension deux, à cause des nombres complexes.

Forme volume et produit mixte

Sur un espace vectoriel (réel) de dimension deux E, une forme volume est une application bilinéaire, antisymétrique et non nulle \omega:E\times E\to\mathbf R.

Comme je l’ai rappelé dans ce billet, une telle forme peut être utilisée pour définir l’aire orientée de certaines parties des plans affines modelés sur E, en particulier, celle des polygones, convexes ou non, de ces plans.

L’espace E admet des bases adaptées à \omega, i.e. des bases (\mathbf e_1,\mathbf e_2) telles que \omega(\mathbf e_1,\mathbf e_2)=1. Dans une telle base,

\forall \mathbf u,\mathbf v\in E,\quad\omega(\mathbf u,\mathbf v)=\det\begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}

Lorsque l’espace E est euclidien et orienté, il admet une forme volume privilégiée. C’est celle dont les bases orthonormées positives de E sont des bases adaptées. Cette forme volume est ce qu’on appelle le produit mixte de E. On le note

\mathbf u,\mathbf v\mapsto [\mathbf u,\mathbf v]

Outre le fait que, comme toute forme volume, le produit mixte de E donne lieu à une notion d’aire orientée, il permet également, de concert avec le produit scalaire

\mathbf u,\mathbf v\mapsto \mathbf u\cdot\mathbf v

de définir l’angle orienté des couples d’éléments non nuls (\mathbf u,\mathbf v) de E. Celui-ci est en effet donné par

\begin{cases}\cos(\mathbf u,\mathbf v)=\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|}\\[1ex]\sin(\mathbf u,\mathbf v)=\frac{[\mathbf u,\mathbf v]}{\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|}\end{cases}

Structure complexe et produit vectoriel

Une structure complexe sur l’espace vectoriel E est une application linéaire J:E\mapsto E telle que J^2=-\mathrm{id}_E. Avec une telle structure, on fait de E un espace vectoriel complexe en conservant l’addition de E et en posant

\forall a,b\in \mathbf R,\forall \mathbf u\in E,\quad (a+ib)\mathbf u=a\mathbf u+bJ\mathbf u

Nous supposons ici que \dim E=2. Comme espace vectoriel complexe, sa dimension est alors 1. Voici pourquoi. Supposons que \mathbf u\in E n’est pas nul. Alors (\mathbf u,J\mathbf u) est une base de l’espace réel E. En effet, \mathbf u et J\mathbf u sont linéairement indépendants sur \mathbf R car les valeurs propres de J sont \pm i. Les éléments de E sont donc les multiples complexes de \mathbf u.

Les bases de la forme (\mathbf u,J\mathbf u) que nous venons de construire sont celles dans lesquelles J est représenté par la matrice

\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

Nous dirons que ce sont les bases adaptées à J.

Lorsque le plan vectoriel E est euclidien et orienté, il admet une structure complexe privilégiée à savoir son produit vectoriel. Celui-ci, qui n’a qu’un argument, est la rotation d’angle \frac \pi 2. On le note

\perp: \mathbf u\mapsto \mathbf u^\perp

L’application \perp\circ \perp est la rotation d’angle \pi. C’est donc -\mathrm{id}_E : \perp est bien une structure complexe de E. Les bases orthonormées positives de E lui sont adaptées.

L’espace vectoriel réel des nombres complexes

Comme espace vectoriel réel, l’ensemble des nombres complexes n’est autre que \mathbf R^2. Il est muni d’une structure d’espace vectoriel euclidien orienté canonique : celle pour laquelle (1,i) est une base orthonormée positive.

Pour cette structure, le produit vectoriel est la multiplication par i et c’est la structure complexe naturelle de \mathbf C.

Quant aux produits scalaire et mixte, il sont liés au produit des nombres complexes par une remarquable formule :

(1) \forall u,v\in\mathbf C,\quad \bar uv=u\cdot v+i[u,v]

soit, en termes des parties réelles et imaginaires,

(a-ib)(c+id)=(ac+bd)+i(ad-bc)=(ac+bd)+i\det\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}

Je ne résiste pas à la tentation de montrer à nouveau comment la belle formule (1) donne une preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz en dimension deux (et donc, comme je l’ai expliqué ailleurs, sur tout espace vectoriel euclidien, de dimension finie ou non).

On prend les carrés des modules des deux membres de (1). Cela donne

|u|^2|v|^2=(u\cdot v)^2+[u,v]^2

En conséquence,

|u\cdot v|\leqslant |u||v|

l’égalité ayant lieu si, et seulement si, [u,v]=0, c’est-à-dire si, et seulement si, u et v sont linéairement dépendants sur \mathbf R.

Voici une autre conséquence de (1).

Dans tout plan vectoriel euclidien orienté, on a

\begin{cases}\mathbf u\cdot \mathbf v^\perp=-[\mathbf u,\mathbf v]\\[1ex][\mathbf u,\mathbf v^\perp]=\mathbf u\cdot\mathbf v\end{cases}

Vu ce qui précède, il suffit de vérifier ces formules pour l’espace \mathbf C. Elles résultent alors de (1) puisque, d’après cette identité,

u\cdot v^\perp+i[u,v^\perp]=\bar u v^\perp=i\bar u v=-[u,v]+i u\cdot v

Voilà, c’est tout pour ce billet.

😉

2 réactions sur “Nombres complexes, produits scalaire, mixte et vectoriel : une brève mise au point

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